【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0 R RJddR RJBd????????????????? ??????00 33 1( ) ( ) ( ) 044 RRd B d J J d JR R R????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?BAABBA ?????? ??????????? )(利用恒等式 ，得 電流密度與場(chǎng)點(diǎn)無(wú)關(guān) 梯度的旋度等于 0 ② 區(qū)域內(nèi)所有電流的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度 ?? ??? ? BdBdB ???0????????? ?? ?? BdBdB ???0??? B?兩邊取散度，得 即 表明恒定磁場(chǎng)是一個(gè)無(wú)散場(chǎng)。 積分形式 應(yīng)用散度定理得 0s B d s B d? ?? ?? ? ? ? ???恒定磁場(chǎng)第二定律 磁通量 ? ?? sm sdB ??? 單位：韋伯（ Wb） ② 也稱(chēng)為磁通密度 B 單位：韋伯 /米 2（ Wb/m2） ① 定義：磁感應(yīng)強(qiáng)度 在某曲面 上的面積分 B S167。 矢量磁位和標(biāo)量磁位 一 . 矢量磁位 引入 磁場(chǎng)的高斯定律 表明磁場(chǎng)是無(wú)散源場(chǎng)，可引入矢量位 。 0B?? ? A定義式： AB ?? ??? 稱(chēng)為 矢量磁位 或 磁矢位 ，單位：韋伯 /米 A庫(kù)侖規(guī)范 只根據(jù) 定義式，無(wú)法確定 A B證明：如果 是滿(mǎn)足定義式的一個(gè)解，則令 1A? ???? 12 AA ???????????? 12 AA ??于是 0???? ?而 BAA ??? ?????? 12故 所以對(duì)一個(gè)給定 的將有無(wú)窮多個(gè) 與之對(duì)應(yīng) B A 為了避免 的這種隨意性，必須再對(duì)其附加另外的限制，這個(gè)限制就是給定 的散度。 AA對(duì)恒定磁場(chǎng)，選擇 0??? A? 稱(chēng)為庫(kù)侖規(guī)范 矢量磁位 的微分方程 A0BA AJHJ ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?AAA ??? 2??????????利用矢量恒等式 和庫(kù)侖規(guī)范 0??? A?JA ?? 02 ???? 矢量泊松方程 得 0?J? 02 ?? A?對(duì) 的區(qū)域有 矢量拉普拉斯方程 利用矢量磁位的定義式和安培環(huán)路定理，得 矢量的拉普拉斯運(yùn)算由 確定 ????????三個(gè)分量分別滿(mǎn)足標(biāo)量泊松方程 在直角坐標(biāo)系中， 具有如下形式 A?2?zyx AzAyAx 222 ??? ??????)???()( 2222222 zyx AzAyAxzyxA ?????? ???????xx JA 02 ???? zz JA 02 ????yy JA 02 ????對(duì)無(wú)界空間情況，且場(chǎng)源電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，方程的解為 ??? ? ?? ? ? dRJA xx 4 0 ??? ? ?? ? ? dRJA yy 4 0 ??? ? ?? ? ? dRJA zz 4 0將以上三式矢量相加，就得到矢量泊松方程在無(wú)界空間內(nèi)的解 ??? ? ?? ? ? dRJA??40??? ?? dRJAd 4 0??電流元 所產(chǎn)生的磁矢位為 ??dJ?電流面分布 電流線(xiàn)分布 sdRJA s s ?? ? ?????40sdRJAd s ?? ??4 0??? ? ?? l RldIA????40ldRIAd ?? ?? ??4 0 利用磁矢位解決磁場(chǎng)問(wèn)題，一般是求出分布電流所產(chǎn)生的 ，然后再通過(guò) 計(jì)算出對(duì)應(yīng)的 。 ABA? ?? B★ 這些表達(dá)式 只適用于電流分布在有限區(qū)域 的情況。 A? z ? zd ? 圖 4 － 3 0 直線(xiàn)電流的磁矢位 z r r z o 2l 2l ),( zrP ? 例 計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流產(chǎn)生的磁矢量位 和磁通量密度 。 A B解： 首先計(jì)算一段長(zhǎng)度 l 為的直線(xiàn)電流段產(chǎn)生的磁矢位 A利用線(xiàn)電流分布時(shí)， 解的表達(dá)式得 A? ? ??? ?? 22 220)(4?ll zzrzdIzA???22220 )()(ln4?llrzzzzIz??????? ?????????22220)2()2()2()2(ln4?rzlzlrzlzlIz????????????22220)()(2222ln4?rllrllIzA?????????22220))((22ln4?rrllIz?????rlIz ln2?0??? ??l當(dāng) 時(shí) 可見(jiàn)，由上式得到無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流產(chǎn)生的 趨于無(wú)窮大 A錯(cuò)誤原因： 零參考點(diǎn)選擇在非無(wú)限遠(yuǎn)的某點(diǎn)上。 解決辦法： 對(duì)于源電流分布于無(wú)限區(qū)域的情況，如果再以無(wú)限遠(yuǎn)為磁矢位參考點(diǎn)，就會(huì)導(dǎo)致場(chǎng)點(diǎn) 值的發(fā)散。 A選取 為參考點(diǎn)，并構(gòu)造一個(gè)新的磁矢位 0rrr AAA??? ???00? l n l n2 I llAz rr? ? ???????? 00000 ln2?1ln2?ln2? rIzrIzrrIz?????? ???rIrAAB z??????2??0?????? ??rA??0r?令 和 是按照電流分布在有限區(qū)域時(shí)的計(jì)算公式得到的磁矢位 rA?0rA?rAA??作代換 ，則 磁通量密度可以求得： 這與安培回路定律或畢奧 —— 沙伐定律所求出的結(jié)果完全相同 。 r ? 2r 1r 圖 4 － 3 1 雙線(xiàn)傳輸線(xiàn)的磁場(chǎng) y x a a P o 例 雙導(dǎo)線(xiàn)傳輸線(xiàn)可以視為通過(guò)反方向電流的無(wú)限長(zhǎng)平行直線(xiàn)電流，設(shè)線(xiàn)間距離為 2a，如圖所示。 求它所產(chǎn)生 的和 。 A B?????? ??210 lnln2? rlrlIzA???120 ln2? rrIz????????? ?? ??? ???? c o s2 c o s2ln4? 22220arraarraIzrAArrABzz?????? ?1? ????? ?? ]c o s)(?s i n)(?[ 222222210 ????? arrarrrIa ???? 解：利用例 二 . 標(biāo)量磁位 引入 mUH ????對(duì)于 的區(qū)域，即無(wú)電流的區(qū)域，可以引入標(biāo)量位 0??? H?mUmU稱(chēng)為 標(biāo)量磁位 或 磁標(biāo)位 ，單位是安培（ A） mUHB ???? 00 ?? ??對(duì)上式取散度，并由磁場(chǎng)高斯定律可得到 這表明磁標(biāo)位滿(mǎn)足拉普拉斯方程 ，比求解矢量磁位的矢量微分方程要容易。 的微分方程 mU02 ?? mU定義式： mU根據(jù) 的定義式，得 求解標(biāo)量磁位 ① 求解微分方程 ② 利用等效磁荷的位疊加原理（ 167。 ） ③ 利用磁場(chǎng)強(qiáng)度求解 mUH ????P0 是磁標(biāo)位的參考點(diǎn) 場(chǎng)源電流分布在有限區(qū)域內(nèi)時(shí)， 常將 P0選在無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí) ? ? ?? PmP ldHU ??? ?? 0PPmP ldHU ??根據(jù) 的定義式 mU必須注意： 只能用在無(wú)電流的區(qū)域 內(nèi)，并且 的積分路徑一般也不與電流回路交鏈，否則會(huì)出現(xiàn)多值性。 ??? 0PPmP ldHU ??mU可得 mU閉合回路的 n? l ? 圖 4 － 2 8 電流回路的磁標(biāo)位 l I P ld? W WW d? M Ω4IH d l d???Ω (0 Ω ) Ω4 4 4m PI I IUd ? ? ??? ? ? ? ??其中的 Ω是點(diǎn) P 對(duì)回路 所張的立體角 l?利用安培回路定律的推導(dǎo)過(guò)程 可得 所以 如圖，求回路 在 P 處的 mUl?① 一般解 ? R? 圖 4 － 29 直線(xiàn)電流的磁矢位 I ),( ??rP S W n? 3?Ω Sn RR???23 4c o s4?RSIRRnSIUm ??? ??? ?② 遠(yuǎn)區(qū)解 當(dāng) P 點(diǎn)與回路的距離比回路 的尺寸大得多時(shí)，可以看作是遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)的情況，此時(shí)立體角可以近似寫(xiě)成 l?Ω4m IU ???利用一般解的表達(dá)式 可得 例 一半徑為 a 的圓形細(xì)導(dǎo)線(xiàn)回路上流有恒定電流 I，求回路中心上方任意點(diǎn) P處的 和 。 mU B解：以場(chǎng)點(diǎn) 為球心， R為半徑做一球面，則圓形回路在球面上截出的球冠面積為 (0,0, )Pz lId ?? a R? 圖 4 － 3 2 圓形電流軸線(xiàn)上的磁場(chǎng) x z y a I z W ? o (0,0, )Pz)c o s1(2 2 a? ?? RSS 對(duì) P 點(diǎn)所張的立體角為