cauchy積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式(編輯修改稿)
2025-05-23 08:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 chy積分公式 ????212 d)1(1izzzz??????21d)(1izzizizzizizzi????? )( 122212ii ??? .i???32 例 5 解 ).1( ,d173)( ,3 222ifzzfyxCC????????? 求表示正向圓周設(shè)????根據(jù) Cauchy積分公式知 , , 內(nèi)時在當(dāng) Czzizf ????? ??? )173(π2)(2 ),173(2 2 ???? zzi),76(2)( ???? zizf故 , 1 內(nèi)在而 Ci?).136(2)1( iif ??????所以33 例 6 。211 (1): ,d14si n 2 ????? zCzzzC其中計算積分解 ?????2112 d14si n)1(zzzz???????211d114si nzzzzz114si n2???????zzzi。22 i??34 例 6 。211 (2): ,d14si n 2 ????? zCzzzC其中計算積分?????2112 d14si n)2(zzzz???????211d114si nzzzzz114si n2??????zzzi。22 i??解 35 ?? ??22 d14si n)3(zzzz由復(fù)合閉路定理 , 得 例 6 .2 (3): ,d14si n 2 ???? zCzzzC其中計算積分解 ????? 22 d14si nzzzz?????2112 d14si nzzzz?????2112 d14πsi nzzzzii ???? 2222 .2 i??36 例 7 解 ?? ?????CzCzzezzzrzC.d)1()2(。d)1(c o s)1( .1 : ,225為正向圓周其中計算下列積分 , 1 )1( c o s )1( 5 處不解析內(nèi)在函數(shù) ?? ? zCz z , c o s 內(nèi)處處解析在但 Cz?? ???? C nn zzz zfinzf d)( )(2 !)( 100)(根據(jù)公式? ? ?C zz z d)1( c o s 5 1)4()( c o s)!15( 2 ????? zzi 。125i???37 , )1( )2( 22 處不解析內(nèi)的在函數(shù) izCz ez???1C2Cxyo??i Ci? , 1CiC 為中心作一個正向圓周內(nèi)以在 , 2Ci 為中心作一個正向圓周以 ? , , )1( 2122圍成的區(qū)域內(nèi)解析在由則函數(shù) CCCze z?根據(jù)復(fù)合閉路原理 ? ?Czzz e d)1( 22 ?? ????21d)1(d)1( 2222CzCzzz ezz e38 ? ?1 d)1( 22Czzz e ? ???1d)()(22Czzizizeizzizei???????????? 2)()!12(2,2 )1( ???iei1C2Cxyo??i Ci?? ?2 d)1( 22Czzz e同理可得 ,2 )1( ????? iei? ?Czzz e d)1( 22 ??? 2 )1(iei?????2)1( iei于是 ))(1(2 ii ieei ????? )1s i n1( c o s)1(2 2 ???? i).1c o s1( s i n ?? ?i39 例 8 解 ) (.d 1為整數(shù)求積分 nzzeznz??,0)1( ?n , 1 上解析在 ?zze nz由 Cauchy 積分定理得 ???1。0dznzzze,1)2( ?n 由 Cauchy積分公式得 ???1dznzzze0)(2 ??? zzei 。2 i??40 ,1)3( ?n? ???? C nn zzz zfinzf d)( )(2 !)( 100)(根據(jù)公式??1dznzzze0)1()()!1(2?????znzeni.)!1( 2??? n i41 例 4 解 .31)2(。23)1(:.d)2(1 32??????zzCzzzC其中求積分 ,0 2 )2( 1 32 ??? zzzz 和有兩個奇點函數(shù),23)1( ??z 2, ?z僅包含奇點 ,1)( 3zzf ?取? ?Czzz d)2( 1 32? ??Czzz d)2(1 23231!12??????????zzi。83 i???42 31)2( ??z , 0 2 內(nèi)都含在和兩個奇點 Czz ?? 2, 0 21 和分別包含和作簡單閉曲線 CC , 21 互不包含且互不相交和 CC根據(jù)復(fù)合閉路原理和高階導(dǎo)數(shù)公式 , ? ?Czzz d)2( 1 32 ?? ????21d)2( 1d)2( 1 3232CCzzzzzz43 ?? ????21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021!12)2(1 !22?????????????????????zzzizi8383 ii ???? .0?44 1. 調(diào)和函數(shù)的概念 2. 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 3. 計算實例 由 定理 2，在區(qū)域 D內(nèi)解析函數(shù)的實部函數(shù)和虛部函數(shù)在 D內(nèi)必有各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。下面研究其實部函數(shù)和虛部函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。 三、 解析 函數(shù)的實部和虛部與調(diào)和函數(shù) 45 1. 調(diào)和函數(shù)的概念 定義 . ),( 0 ),( 2222內(nèi)的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域則稱方程且滿足有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并內(nèi)具在區(qū)域如果二元實變函數(shù)DyxyxLa pl ac eDyx?????????? 工程中的許多問題 ， 如平面上的穩(wěn)定溫度場 、靜電場和穩(wěn)定流場等都滿足 Laplace方程 . 2222yx ???????也可用 Laplace算子 簡記為 0???46 下面簡單推導(dǎo)平面穩(wěn)定溫度場中溫度函數(shù)是一個調(diào)和函數(shù) . DDD 設(shè)所考慮物質(zhì)的導(dǎo)熱性能在某一區(qū)域 內(nèi)是均勻且各向同性的，導(dǎo)熱系數(shù)是常數(shù)，且 內(nèi)沒有熱源，這樣，在 內(nèi)就形成一個穩(wěn)定的溫度場 .
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