【文章內(nèi)容簡介】 通常實際的物理系統(tǒng)總是有一點耗散的，隨著時差的增大，一般來說隨機過程的相關(guān)性有所減弱，而且當?shù)綍r有，趨向于0。在隨機振動分析中，通常要用到來自兩個不同隨機過程的相關(guān)，例如隨機激勵力與隨機振動響應(yīng)的相關(guān)情況，還有兩個以上不同的隨機激勵力作用在同一結(jié)構(gòu)上等情況。對各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程互相關(guān)函數(shù)定義為： (286)性質(zhì)：1.，一般不對稱 (287) 2. (288)證明：令例21： 與為兩個平穩(wěn)隨機過程，求自相關(guān)函數(shù)解：對均值為零的平穩(wěn)隨機過程，若相互獨立則有，即： 典型函數(shù)的傅里葉變換的連續(xù)傅里葉定義為： (289) (290)線性性質(zhì)： (291)對稱性質(zhì)： (292)平移性質(zhì)： (293)變標尺性 (294)共軛性 (295)微分特性 (296)乘積與卷積特性 (297)典型函數(shù)的傅里葉變換1．脈沖函數(shù)定義：若有，稱為單位脈沖函數(shù)，其性質(zhì)為傅里葉變換為 (298) (299)可以得出如下結(jié)論： (2100)2．正余弦函數(shù)的傅里葉變換 (2101) (2102)3. 單位指數(shù)函數(shù) (2103)4．矩形脈沖函數(shù) (2104)若，則矩形函數(shù)相應(yīng)于矩形脈沖，則有，為矩形脈沖T的面積。相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為功率譜密度函數(shù)（Power spectral density function），自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為自功率譜密度函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為互功率譜密度函數(shù)。分別敘述：自功率譜密度函數(shù)定義1：自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換或 (2105) (2106)也可以說自相關(guān)函數(shù)是自功率譜密度函數(shù)的逆傅里葉變換，即或 (2107) (2108)由于表示均方值，因此上式當時有 (2109)所以在整個頻帶上的積分等于它的均方值，可以說，表示在單位帶寬內(nèi)具有的能量，具有能量（或功率）的密度的概念，所以稱為功率譜密度。所以也有如下的定義： ， (2110)可以證明這兩個定義是等價的。證明：同時有由于對任意的隨機函數(shù)，上兩式均成立，因此有：自功率譜性質(zhì)：表示振動功率按頻率的分布1. (2111)2. (2112)所以表示單位頻帶上信號的能量3. 自功率譜是偶函數(shù) (2113)互功率譜密度函數(shù)：對應(yīng)的互功率譜也有兩個等價定義1. 或 (2114)2. (2115)互功率譜密度函數(shù)性質(zhì)：互功率譜密度函數(shù)一般是復(fù)數(shù)，不對稱，且有 (2116)證明：對于實際的信號，一般沒有負頻率的概念，前述的意義是在上，這僅僅是理論上的定義，因此工程上便于應(yīng)用，把負頻率的譜密度折算到正的頻率上去，由是偶函數(shù)，所以定義： (2117)移為單邊自譜密度函數(shù)，對應(yīng)稱雙邊自譜密度函數(shù)。 （） (2118)單邊自譜下的面積同樣等于均方值，因為： (2119)類似的定義單邊上的互譜密函數(shù)： (2120)對應(yīng)的稱為雙邊互譜密度函數(shù)。相干函數(shù)：在時域內(nèi)用相關(guān)系數(shù)表示兩個隨機變量的相關(guān)程度，同樣在頻域內(nèi)也定義一個類似的無量綱數(shù)來表示隨機函數(shù)的相關(guān)程度。 (2121)可以證明: (2122)相干函數(shù)可以用來檢查系統(tǒng)是否有隨機干擾和非線性干擾，即如果接近于1，表示所經(jīng)過的系統(tǒng)非線性程度很小，噪聲干擾也很小，反之干擾比較大，得到的譜密度函數(shù)不可信，因為輸出y不完全是由輸入x引起的。一般要求： 平穩(wěn)隨機過程的譜分類：一個平穩(wěn)隨機過程根據(jù)它的功率譜密度函數(shù)的性質(zhì)可分為寬帶或窄帶隨機過程。一個隨機過程若它的功率譜密度函數(shù)在較寬的范圍有意義的值，稱為寬帶隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)示意圖見圖22。圖22：寬帶隨機過程自相關(guān)函數(shù)理想地就是在整個頻率范圍內(nèi)都有值，一個極端情況就是 （一個固定的常數(shù)） (2123)這樣的過程稱為白噪聲。即譜密度函數(shù)是無限寬且均勻的，見圖23。其自相關(guān)函數(shù)為： (2124)意味著均方值無窮大，見圖24，物理上是無法是實現(xiàn)的。但是在某些條件下可以近似的用白噪聲來模擬，如果該過程覆蓋了系統(tǒng)全部頻帶。圖23：白噪聲信號功率譜密度圖24：白噪聲信號自相關(guān)函數(shù)另一個理想模型就是有限帶寬白噪聲（帶限白噪聲） (2125) (2126)在物理上可以實現(xiàn)這種有限帶寬過程（湍流，飛行器表面壓力波動）。一個隨機過程若它的功率譜密度僅在某一個中心頻率附近取意義的值，稱為窄帶隨機過程。其功率譜密度函數(shù)以及自相關(guān)函數(shù)示意圖見圖25，26。圖25：窄帶隨機信號功率譜密度圖26：窄帶隨機信號自相關(guān)函數(shù) 隨機過程的分布介紹如下幾種典型的隨機過程及其分布：獨立隨機過程若有相互獨立，則稱為獨立隨機過程。獨立增量過程若有隨機變量，相互獨立則稱為獨立增量過程。高斯（gauss）過程若一個隨機過程，對于在任意個時刻上所派生出的個隨機變量是聯(lián)合Gauss分布的，則此隨機過程稱為Gauss過程。特點：l 由前述二維聯(lián)合高斯分布的概率密度函數(shù)表達可以看出，只要已知一階矩和二階矩（方差，協(xié)方差），則整個過程統(tǒng)計特性就完全知道了。l Gauss過程的線性變換仍然是Gauss過程，這樣對線性時不變系統(tǒng)，輸入（激勵力）是Gauss過程，輸出也是Gauss過程。l 許多自然現(xiàn)象都可以用高斯過程描述，大氣湍流，海浪，路面等，陣風。這些特點為隨機振動的研究帶來了極大方便。平穩(wěn)，其均方可微的充要條件是 (2127)并在處連續(xù)，且有如下性質(zhì)：1. 均方可微，為確定性函數(shù)，則可微，且有 (2128)2．求導(dǎo)與平均運算可交換次序 (2129) (2130) (2131)特別地若（t）是二階平穩(wěn)過程，有 (2132) (2133) (2134)，均方Riemann積分，存在的條件是：1. 存在，則必唯一2. 若存在，則積分與平均運算可交換次序3. 若為確定性函數(shù)，則若存在，那么積分與平均可變換次序，即 (2135)4. 滿足分步積分公式 (2136) (2137)為連續(xù)確定性函數(shù)。5. (2138)、速度和加速度的相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)關(guān)系由上述關(guān)系可以得到隨機振動位移、速度和加速度的相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)關(guān)系。若表示位移，是一個平穩(wěn)隨機過程，其相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)分別為，則有的自相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)分別為： (2139)由于，根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)有：由前述 ，所以有： (2140)同理有 (2141)所以已知位移的相關(guān)函數(shù)，即可以知道速度和加速度的相關(guān)函數(shù)，已知位移的功率譜密度函數(shù)，即可以知道速度和加速度的功率譜密度函數(shù)。例題22：有一個隨機過程，式中是常數(shù)，是在內(nèi)均勻分布的隨機變量，試判別是否平穩(wěn)？解：該過程為平穩(wěn)隨機過程例23：檢驗上例的各態(tài)歷經(jīng)性解：對于指定的一個樣本為確定的值，所以有該隨機過程為各態(tài)歷經(jīng)的。例24：為隨機變量，求的，若有，考慮的平穩(wěn)性。解：1.2.該過程為非平穩(wěn)的第二章習(xí)題習(xí)題21：，是在內(nèi)均勻分布的隨機變量，試判別它的平穩(wěn)性。進一步考慮其關(guān)于均值和自相關(guān)函數(shù)的遍歷性。習(xí)題22：考慮的平穩(wěn)性，為標準正態(tài)高斯分布的隨機變量。習(xí)題23：是隨機變量，且有，求第三章 SDOF系統(tǒng)的隨機響應(yīng) 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)描述 對SDOF系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)函數(shù)為 (31)其傅里葉變換定義為頻率響應(yīng)函數(shù) (32) 它們分別描述了系統(tǒng)在時域和頻域的動態(tài)特性，注意：這里的系統(tǒng)是指線性時不變系統(tǒng)，線性(疊加原理適用)時不變(系統(tǒng)本身的特征如質(zhì)量，剛度，阻尼為常數(shù)不隨時間而變化)。另外，從振動理論中我們還知道，對任意的外激勵的響應(yīng)可以看作在脈沖元作用下的響應(yīng)的和。表示一個脈沖的沖量的大小，由它引起的響應(yīng)，即為，然后在上求和即 (33)在上式我們假設(shè)定義在上，若是定義在上，那么上式又可以寫為 (34)在振動理論中，這個積分稱為杜哈美(Duhamel)積分，另外，由于是時刻系統(tǒng)在單位脈沖作用下產(chǎn)生的響應(yīng)，那么在大于的時刻，該脈沖尚未作用，自然響應(yīng)就為零。即 ， 所以響應(yīng)還可以寫為 (35)這在數(shù)學(xué)上顯然是一個卷積積分，即系統(tǒng)的響應(yīng)等于系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與輸入的卷積。 另外，在(35)式中，我們令則有 ， 所以 即卷積可以互相交換 (36)頻域是從另一個角度來分析系統(tǒng)信息的特性，從上式很容易看出，若對其兩邊分別作傅里