【正文】 (35)這在數(shù)學上顯然是一個卷積積分，即系統(tǒng)的響應等于系統(tǒng)單位脈沖響應函數(shù)與輸入的卷積。習題22：考慮的平穩(wěn)性，為標準正態(tài)高斯分布的隨機變量。例題22：有一個隨機過程，式中是常數(shù)，是在內(nèi)均勻分布的隨機變量，試判別是否平穩(wěn)？解：該過程為平穩(wěn)隨機過程例23：檢驗上例的各態(tài)歷經(jīng)性解：對于指定的一個樣本為確定的值，所以有該隨機過程為各態(tài)歷經(jīng)的。這些特點為隨機振動的研究帶來了極大方便。高斯（gauss）過程若一個隨機過程，對于在任意個時刻上所派生出的個隨機變量是聯(lián)合Gauss分布的，則此隨機過程稱為Gauss過程。一個隨機過程若它的功率譜密度僅在某一個中心頻率附近取意義的值，稱為窄帶隨機過程。即譜密度函數(shù)是無限寬且均勻的，見圖23。 (2121)可以證明: (2122)相干函數(shù)可以用來檢查系統(tǒng)是否有隨機干擾和非線性干擾，即如果接近于1，表示所經(jīng)過的系統(tǒng)非線性程度很小，噪聲干擾也很小，反之干擾比較大，得到的譜密度函數(shù)不可信，因為輸出y不完全是由輸入x引起的。所以也有如下的定義： ， (2110)可以證明這兩個定義是等價的。在隨機振動分析中，通常要用到來自兩個不同隨機過程的相關，例如隨機激勵力與隨機振動響應的相關情況，還有兩個以上不同的隨機激勵力作用在同一結構上等情況。平穩(wěn)隨機過程遍歷的基本含義就是樣本函數(shù)的總體統(tǒng)計特征等于單個樣本在較長時間段內(nèi)的時間統(tǒng)計特征。設平穩(wěn)隨機過程X(t)任一樣本函數(shù)為Xi(t)，下文為書寫簡便用代替任一無限長樣本函數(shù)，其時間均值定義為： (274)時間平均意義下的自相關函數(shù)定義為： (275)時間平均意義下的均方值 當時有， (276)時間平均意義下的方差定義為 (277)各態(tài)歷經(jīng)隨機過程：對一個平穩(wěn)隨機過程，若有 (278)則稱該平穩(wěn)隨機過程關于均值遍歷。 隨機過程的時域描述隨機振動的時域描述主要指時差域描述，用隨機過程不同時刻之間的相關情況來描述隨機振動。所以對協(xié)方差的要求就和對自相關函數(shù)的要求一樣。工程中的平穩(wěn)的含義通常是指廣義平穩(wěn)。嚴格平穩(wěn)隨機過程定義:若隨機過程的n維聯(lián)合概率密度函數(shù)對任意實數(shù)都有 (271)則稱此過程是n階平穩(wěn)的，且低于n的各階也都是平穩(wěn)的，如這個定義是嚴格平穩(wěn)的條件。若均方差存在，由Schwarz不等式：可以推知自相關函數(shù)必定存在。因而，有是需要考慮它們之間的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合矩。由于多數(shù)隨機過程，例如，海浪符合這個條件，所以，將二者統(tǒng)稱為相關函數(shù)。這些一維的概率分布只能描述各個獨立時刻單個隨機變量的概率特性，無法揭示隨機過程不同時刻之間的相互關系，為此必須使用二維以上的概率分布描述。方差性質：1. (241)2. (242) 3. (243) 4. ，若統(tǒng)計獨立 (244)證明：均值，均方值（均方根值），方差（標準差）是隨機變量最重要的三個數(shù)字特征量，它們之間有如下關系： (245)聯(lián)合矩：多個隨機變量的矩的關系是聯(lián)合矩，以兩個隨機變量為例，其（）階的聯(lián)合原點矩定義為： (246)時有，也稱為相關矩 (247)當。（對離散隨機變量有，如果隨機試驗得到一系列獨立的觀測值（），那么其樣本均值為：）一階原點矩性質：1. 是常數(shù) (231)2. (232)3. (233)4. ，或者 (233)證明： 5. 若二者相互統(tǒng)計獨立 或者 (234)證明：二階原點矩定義為： (235)也稱為隨機變量的均方值，常記為，通常表示隨機變量的能量水平。由定義及的性質可知， (222)二維聯(lián)合概率密度函數(shù)性質：1） (223)2） (224)3）所以有 (225)同理，由于有 (226)這就給出了二維聯(lián)合概率密度函數(shù)與一維的關系。概率密度函數(shù)表示X取值在x點附近的單位區(qū)間內(nèi)的概率大小。以下為行文方便簡寫為。取有限值就是離散隨機變量，取無窮大就是連續(xù)隨機變量。在同一海域內(nèi)布置n個同一類型的波高儀，在某一時刻所測得的n個波高值，就構成一個描述波高可能取值的隨機變量。所得結果僅是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計特征的一個估計，一個近似。下文就將表示為隨機過程。因此，隨機過程是由時間上無限長、樣本的無限多個的樣本函數(shù)構成的，可以寫為： (21) 圖21: 隨機過程示意圖 隨機過程的每次實現(xiàn)是一個確定的非隨機函數(shù)，但各個實現(xiàn)各不相同，因此為了得到隨機過程的統(tǒng)計特性也必須做大量的獨立測量。工程中存在著很多這種物理現(xiàn)象，如在第一章所舉的例子，這些物理現(xiàn)象無法用確定性的理論來描述，但可以用隨機過程來描述。但是對于象湍流引起的飛機、火箭的振動、海浪導致出入水的導彈的振動，以及前面介紹的其它例子，都必須考慮振動的隨機性，用隨機振動的研究方法進行研究，才能得出更符合實際情況的結論。 按隨機振動頻帶寬窄可分為：寬帶隨機振動，窄帶隨機振動。2） 系統(tǒng)是隨機的，激勵或確定，或隨機自然界和工程中也有這樣的問題，例如，雨天，輸電線的振動問題，這里，輸電線的質量是隨機變化的，也就是系統(tǒng)的特性是隨機的。 隨機振動研究的內(nèi)容和意義隨機問題，主要分為兩大類：1） 系統(tǒng)是確定性的，激勵是隨機的前面所列舉的例子都屬于這一類。工程中有很多這樣的實際例子：在海浪作用下，海洋平臺結構、水面艦船、出入水的導彈的振動在湍流作用下，飛行器結構的振動在陣風作用下，高聳建筑物、橋梁的振動在地震作用下，所有地面建筑結構的振動在發(fā)動機噴氣噪聲以及大氣氣動噪聲的作用下，火箭、導彈等飛行器結構的振動在不平路面的作用下，各種車輛的振動。同樣，在下一次相同的外激勵作用下，振動規(guī)律還可以得到完全的重復。只要已知初始時刻的振動值，就可以預知之后任意時刻的振動值。例如，無阻尼自由振動問題： (11) 在確定的初始條件作用下，系統(tǒng)的振動響應規(guī)律為： (12)其中，是由表征系統(tǒng)特性的物理參數(shù)確定的，和由初始條件確定。這個杜哈梅積分如果可以精確積分，振動規(guī)律可以表示成一個確定的函數(shù)表達式，如果不能，需要利用數(shù)值積分，得到的振動規(guī)律是一組給定的離散時刻的確定的數(shù)值。在隨機現(xiàn)象作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生的振動規(guī)律也同樣有隨機的特征，振動過程是不確定的，這樣振動稱為隨機振動。就是說振動運動是隨機的，所以在任一給定時刻時的精確值不可能精確預計，我們最多只能求出在時刻，取值于某一區(qū)間的可能性或概率，給出在某一時刻的統(tǒng)計規(guī)律，而且統(tǒng)計規(guī)律也可能是隨時間變化的。通常的隨機振動研究主要屬于這一類。 按振動微分方程的特點可分為：線性隨機振動；非線性隨機振動。 實際工程中，隨機振動現(xiàn)象是十分普遍的，嚴格地說，一切實際系統(tǒng)的振動都是隨機的，只不過有些振動隨機的成分很小，可以忽略，當作確定性系統(tǒng)來研究。 隨機過程的基本概念和特征 隨機過程是對在空間和時間上高度不規(guī)則，事先無法預估，其變化也無法重復，其統(tǒng)計規(guī)律隨時間演化的物理現(xiàn)象的一種數(shù)學描述。所有可能的樣本函數(shù)的集合構成一個隨機過程。因此隨機過程也可以是樣本空間上的隨機變量的集合。實際分析中，我們只能用樣本長度有限，樣本數(shù)目有限的樣本集合來代替隨機過程。 隨機變量定義 對所研究的隨機現(xiàn)象賦值便得到了一個隨機變量，例如，哈爾濱地區(qū)每年冬天的最低氣溫。隨機試驗的一種結果也就是隨機變量的一個可能取值，這些所有可能的取值的集合就是一個隨機變量，用集合符號表示就是： (23)式中為隨機變量的一種可能取值。通常主要考慮隨機變量的值取在整個實數(shù)軸上的問題。當F(x)連續(xù)可導時，可以得到其導數(shù)函數(shù) (28)其意義可解釋為隨機變量X取值在x附近的單位區(qū)間的概率大小，因為：因此，p(x)大表示F(x)在該點的變化較大，也就是在這個區(qū)間概率分布密度也大，所以也稱p(x)為概率分布密度函數(shù)，簡稱概率密度函數(shù)。對于二維的隨機變量，它的聯(lián)合概率分布函數(shù)定義為： (214)即為隨機變量取小于同時小于的概率，性質：1） (215)2） (216)3） (217)4） (218)5） (219)6）單獨對是單調(diào)增函數(shù)7) (220)當有二階偏導數(shù)時，有 (221)這個二階偏導函數(shù)定義了二維聯(lián)合概率密度函數(shù)。一階原點矩定義為 (231)也就是隨機變量的均值，也稱數(shù)學期望，常記為。對離散隨機變量有 (239)樣本方差（Sample variance） (240)方差表明隨機變量偏離均值的程度。均勻分布的概率密度函數(shù)為 (255)高斯分布的概率密度函數(shù)為 (256)隨機變量的初等函數(shù)仍然是隨機變量，后者的分布由前者確定，且若已知的，則有 (257) 隨機過程的幅域描述 隨機過程概率統(tǒng)計特征量上述對隨機變量的成熟的概率描述手段，可以直接用于描述隨機過程，只不過為了表示隨機過程是一個動態(tài)的，隨時間變化的過程，需要加一個時間變量，如表示隨機過程在時刻的隨機變量的概率密度函數(shù)，一維概率分布函數(shù)定義為： (258)對應的數(shù)字統(tǒng)計特征為： (259) (260) (261)表明隨機過程在每一時間截口的分布中心，能量水平和偏離分布中心的程度。 (264)上式右側第一項是的相關矩，一階聯(lián)合原點矩也稱隨機過程的自相關函數(shù)，通常記為： (265)