第四講對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)經(jīng)典難題復(fù)習(xí)鞏固(編輯修改稿)
2025-05-14 08:31 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (t)在(0,2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減，由0t＝()x≤2，可得x≥－1，由t＝()x≥2，可得x≤－1.∴g(x)在[－1，＋∞)上遞減，在(－∞，－1]上遞增．故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1]，單調(diào)遞減區(qū)間是[－1，＋∞)．考點(diǎn)四對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值【例4】(1)計(jì)算：lg5(lg8＋lg1 000)＋()2＋lg＋；(2)化簡(jiǎn)：log3log5[－－]；(3)已知：lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，求的值．[自主解答] (1)原式＝lg5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3lg 5lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋(3lg 5)－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1.(2)原式＝(log3－1)log5(10－3－2)＝(－1)log55＝－.(3)∵lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)∴xy＝(2x－3y)2＝4x2＋9y2－12xy即4x2－13xy＋9y2＝0∴(4x－9y)(x－y)＝0，即4x＝9y，x＝y(tǒng)(舍去)，∴＝＝2.變式訓(xùn)練：計(jì)算：(1)(log32＋log92)(log43＋log83)；(2)(lg32＋log416＋6lg)＋lg.解：(1)原式＝(log32＋log32)(log23＋log23)＝(log32＋log3)(log2＋log2)＝log32log2()＝log3log2＝log32log23＝.(2)原式＝[lg32＋2＋lg()6＋lg ]＝[2＋lg(32)]＝(2＋lg)＝[2＋(－1)]＝.考點(diǎn)五對(duì)數(shù)值的大小比較【例5】比較下列各組數(shù)的大小．(1)log3與log5；(2)；(3)已知ba c，比較2b,2a,2c的大小關(guān)系．[自主解答] (1)∵log3log31＝0，而log5log51＝0，∴l(xiāng)og3log5.(2)法一：∵01,，∴0.∴，.法二：作出y＝＝，如圖所示，兩圖象與x＝.(3)∵y＝x為減函數(shù)，且bac，∴bac.而y＝2x是增函數(shù)，∴2b2a2c.變式訓(xùn)練：設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且2a＝a，()b＝b，()c＝log2c，則 ( )A．a(chǎn)bc B．cbaC．cab D．bac解析：如圖：∴abc.考點(diǎn)六對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用【例6】已知f(x)＝logax(a0且a≠1)，如果對(duì)于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，試求a的取值范圍．[自主解答] ∵f(x)＝logax，則y＝|f(x)|的圖象如右圖．由圖示，要使x∈[，2]時(shí)恒有|f(x)|≤1，只需|f()|≤1，即－1≤loga ≤1，即logaa－1≤loga≤logaa，亦當(dāng)a1時(shí)，得a－1≤≤a，即a≥3；當(dāng)0a1時(shí)，得a－1≥≥a，得0a≤.綜上所述，a的取值范圍是(0，]∪[3，＋∞)．變式訓(xùn)練：(2010山東濰坊二模)已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)，將y＝f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象．(1)求g(x)的定義域；(2)令F(x)＝f(x－1)－g(x)，求F(x)的最大值．解：(1)f(x)＝log2(x＋1)y＝log2(x＋2)y＝2log2(x＋2)，即g(x)＝2log2(x＋2)，∴x＋20.∴x－2.∴定義域?yàn)?－2，＋∞)．(2)∵F(x)＝f(x－1)－g(x)＝log2x－2log2(x＋2)＝log2(x0)＝log2＝log2≤log2＝－3，∴當(dāng)x＝2時(shí)，F(xiàn)(x)max＝－3.考點(diǎn)七與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題【例7】(2011成都模擬)設(shè)f(x)＝為奇函數(shù)，a0. (1)求a的值；(2)若對(duì)于區(qū)間[3,4]上的每一個(gè)x的值，不等式f(x)()x＋m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[自主解答] (1)∵f(－x)＝－f(x)，∴＝－＝，∴＝，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)，∴a＝－1或a＝1(舍去)．(2)由(1)可知f(x)＝＝(1＋)，∵f(x)()x＋m恒成立，x∈[3,4]，∴mf(x)－()x，x∈[3,4]．令
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