王式安考研概率講義(編輯修改稿)
2025-05-14 06:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 7．設(shè)，則_____________。例8．設(shè)兩隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布，則成立 例9．（06）設(shè)兩個隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則。例10．設(shè)，試求（1），是否獨(dú)立； （2）和。例11．相互獨(dú)立，服從參數(shù)為的泊松分布，證明服從參數(shù)為的泊松分布。例12．（04）設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布，在的條件下，隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，求：（I）隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度；（II）的概率密度；（III）概率。例13．（05）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求（I）的邊緣概率密度；（II）的概率密度；（III）。第四講 隨機(jī)變量的數(shù)字特征考試要求：數(shù)學(xué)一，數(shù)學(xué)三，數(shù)學(xué)四，要求一致理解：隨機(jī)變量數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，方差，標(biāo)準(zhǔn)差，矩，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)。掌握：常用分布的數(shù)字特征會計算：用數(shù)字特征的基本性質(zhì)計算具體分布的數(shù)字特征，根據(jù)一維和二維隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。167。1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一．定義1．離散型： 當(dāng)絕對收斂 2．連續(xù)型： 當(dāng)絕對收斂二．性質(zhì)（1） （2）（3）（4）相互獨(dú)立，則例 將一均勻骰子獨(dú)立拋擲三次，求擲得三數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望。三．隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（1）離散型 ，當(dāng)絕對收斂， （2）連續(xù)型 ，當(dāng)絕對收斂 四．隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（1）離散型 ，當(dāng)絕對收斂 （2）連續(xù)型 ，當(dāng)絕對收斂例1．商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨的數(shù)量與顧客對該種商店的需求量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間上服從均勻分布。商店每售出一單位商品可得利潤1000元，若需求量超過了進(jìn)貨量，商店可以從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時每單位商品獲利500元，試計算此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤的期望值。167。2 隨機(jī)變量的方差一．定義： 方差 標(biāo)準(zhǔn)差，均方差二．計算方差的公式： ， 三．性質(zhì)：（1），反之不能得出為常數(shù)；（2）；（3）相互獨(dú)立 。例 隨機(jī)變量的概率密度為，則_________________。167。3 常用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差一．（0—1）分布 二．二項分布 三．泊松分布 四．均勻分布 五．指數(shù)分布 六．正態(tài)分布 ， ，，例 已知隨機(jī)變量，試證例 設(shè)隨機(jī)變量，試證167。4 矩原點(diǎn)矩 ，中心矩 混合矩 混合中心矩 167。5 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一．協(xié)方差定義：公式：性質(zhì)：（1）； （2）； （3）二．相關(guān)系數(shù)定義：不相關(guān)： 相互獨(dú)立不相關(guān)性質(zhì)：（1）； （2） ； （3）設(shè)， 則，且相互獨(dú)立不相關(guān)。例 對隨機(jī)變量，證明下列關(guān)系是等價的（1）（2）不相關(guān)（3）（4）167。6 典型例題分析例1．設(shè)隨機(jī)變量服從分布，且已知，則_____________。例2．已知件產(chǎn)品中含有件次品，從中任意取出件，設(shè)這件產(chǎn)品中的次品件數(shù)為，試求。例3．（04）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則__________。例4．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為 其中為常數(shù)，已知，試求和。例5．（04）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且其方差為令，則 例6．在伯努利試驗中，已知，現(xiàn)獨(dú)立，重復(fù)地進(jìn)行試驗直到出現(xiàn)為止，令表示所需進(jìn)行的試驗次數(shù)，試求。例7．設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量的方差。例8．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布密度為，（1） 求的（2） 求與的協(xié)方差，問與是否不相關(guān)？（3） 問與是否相互獨(dú)立？為什么？例9．已知隨機(jī)變量服從，設(shè)（1） 求的（2） 求（3） 問是否相互獨(dú)立？為什么？例10．設(shè)隨機(jī)變量在：內(nèi)服從均勻分布，則的相關(guān)系數(shù)_____________。例11．隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，則 一定服從正態(tài)分布 不相關(guān)與獨(dú)立等價 一定服從正態(tài)分布 未必服從正態(tài)分布例12．在次獨(dú)立重復(fù)試驗中，分別表示成功和失敗的次數(shù)，則的相關(guān)系數(shù)等于 0 例13．設(shè)是兩個隨機(jī)事件，定義兩個隨機(jī)變量如下： 和 證明：不相關(guān)的充分必要條件是相互獨(dú)立。例14．已知隨機(jī)變量的分布 其中為常數(shù)，則隨機(jī)變量的_____________。例15．（04）設(shè)為兩個隨機(jī)事件，且，，令 ，求（I）二維隨機(jī)變量的概率分布；（II）的相關(guān)系數(shù)；（III）的概率分布。例16．（06）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布為 其中為常數(shù)，且的數(shù)字期望，E(X)=,記 求（I）的值；（II）Z的概率分布；（III）。例17．（06）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為令為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，求（I）的概率密度； （II）； （III）第五講 大數(shù)定律和中心極限定理考試要求：數(shù)學(xué)一：了解：切比雪夫不等式，切比雪夫大數(shù)定律，伯努利和辛欽大數(shù)定律，棣莫弗—拉普拉斯定理，列維—林德伯格定理數(shù)學(xué)三、四：了解：切比雪夫大數(shù)定律，伯努利和辛欽大數(shù)定律，棣莫弗拉普拉斯定理，列維—林德伯格定理數(shù)學(xué)三：掌握：切比雪夫不等式數(shù)學(xué)三、四：會用：相關(guān)的定理近似計算有關(guān)事件的概率。數(shù)學(xué)四：了解：切比雪夫不等式167。1 切比雪夫不等式和依概率收斂一．切比雪夫不等式 二．依概率收斂 記作例 設(shè)隨機(jī)變量的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計_______。167。2 大數(shù)定律一．切比雪夫大數(shù)定律 設(shè)兩兩不相關(guān)，存在且存在常數(shù)，使則對任意 二．伯努利大數(shù)定律 ，則對任意 三．辛欽大數(shù)定律設(shè)獨(dú)立同分布，則對任意，167。3 中心極限定理一．棣莫弗—拉普拉斯定理設(shè)
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