【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 線方程為，與拋物線相交，即，設(shè)方程的兩根為且，則，從而又，所以⑶求通過(guò)點(diǎn)的直線中使得為最小的直線方程.[解答] 設(shè)，則則由可得即可得又則當(dāng)時(shí)為最小，此時(shí)方程為⑷求函數(shù)的最大值與最小值.[解答] 令，可得當(dāng)時(shí)，即在取最小值，此時(shí)當(dāng)時(shí)，即在取最大值此時(shí).⑸求曲線與所圍陰影部分面積，并將此面積繞軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體體積，如圖所示.[解答] ⑹已知圓，其中，求此圓繞軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體體積和表面積.[解答] 令，如圖所示，則⑺設(shè)有一薄板其邊緣為一拋物線，如圖所示，鉛直沉入水中，①若頂點(diǎn)恰好在水平面上，試求薄板所受的靜壓力，將薄板下沉多深，壓力加倍？ [解答] 拋物線方程為，則在水下到這一小塊所受的靜壓力為所以整塊薄板所受的靜壓力為若下沉，此時(shí)受到的靜壓力為要使，解得.②若將薄板倒置使弦恰好在水平面在上，試求薄板所受的靜壓力，將薄板下沉多深，壓力加倍？[解答] 建立如圖坐標(biāo)系，則拋物線方程為，則在水下到這一小塊所受的靜壓力為所以整塊薄板所受的靜壓力為若下沉，此時(shí)受到的靜壓力為要使，解得.第八章、第九章沒(méi)有答案??！習(xí)題十．設(shè)為連續(xù)的可微函數(shù)，求.[解答] 令，則，則．設(shè)，其中為可微函數(shù)，求.[解答] 直接對(duì)求導(dǎo)可得化簡(jiǎn)可得．設(shè)，又，求.[解答] 直接對(duì)求導(dǎo)可得．求下列方程確定函數(shù)的全微分.⑴，求.[解答] 直接微分可得即化簡(jiǎn)可得⑵，求.[解答] 化簡(jiǎn)可得．設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.[解答] ．已知，求.[解答] ．已知，求.[解答] ．設(shè)，由確定，求.[解答] 對(duì)方程組求導(dǎo)可得求解可得 ．設(shè)，求.[解答] 所以．設(shè)，其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，二階可導(dǎo)，求.[解答] ．已知，且，其中可微，連續(xù)，且，連續(xù)，試求.[解答] ，又即，又即．設(shè)，其中出現(xiàn)的函數(shù)是連續(xù)可微的，試計(jì)算.[解答] ．設(shè)，試確定常數(shù)，使.[解答] 由，可得 ．若滿足，其中有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求.[解答] 令，則同理則化簡(jiǎn)得即解得即 (為任意常數(shù))．求曲面的平行于平面的切平面方程.[解答] 曲面方程在處切平面的法向量為則曲面在處切平面方程為由題意可知，即則解得即所以切平面的方程為或．求圓周在處的切線與法平面方程.[解答] 由題意，對(duì)求導(dǎo)得：，可解得所以，圓周在的切向量圓周在處的切線方程為法平面方程為．試求函數(shù)在閉區(qū)域上與的最大值[解答] 先求函數(shù)在內(nèi)的駐點(diǎn)由可得，即函數(shù)在內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，再求在邊界上的最值在邊界，此時(shí)在邊界，此時(shí)在上，將代入中化簡(jiǎn)可得，可得，此時(shí)．在橢球面內(nèi)作內(nèi)接直角平行六面體，求其最大體積.[解答] 設(shè)位于第一掛限內(nèi)橢球面上，則，由題意有則解得唯一解所以．求原點(diǎn)到曲面的最短距離.[解答] 設(shè)位于球面上，則令，由題意可得，即求在約束條件下的最小值.，則當(dāng)時(shí)，無(wú)解當(dāng)時(shí)，由，可得．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在球面上的最大值，并證明對(duì)任意的正實(shí)數(shù)成立不等式[解答] 由題意可得，則解得，即在處值最大，此時(shí)對(duì)于任意正數(shù)，設(shè)，即求在條件：下的最大值，則解得唯一解又在平面位于第一掛限部分的邊界上為零，故在點(diǎn)處取最大值，即有．過(guò)平面和平面的交線，作球面的切平面，求切平面方程.[解答] 由平面束方程可知，所求平面方程為化簡(jiǎn)可得由題意可得點(diǎn)到平面距離為化簡(jiǎn)可得即解得或當(dāng)時(shí)，代入方程可得切平面方程為當(dāng)時(shí)，代入方程可得切平面方程為．求直線與直線之間的垂直距離.[解答] 過(guò)作平行于的平面，設(shè)平面的法向量為，則同時(shí)垂直于和的方向向量，故所求得的平面方程為化簡(jiǎn)可得設(shè)是上的一點(diǎn)，則到平面的距離為故所求直線的距離為.習(xí)題十一．求解下列二重積分：⑴[解答] 原式⑵[解答] 原式⑶：由與所圍的區(qū)域[解答] 積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱，同時(shí)被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，所以原式.⑷：由的上凸弧段部分與軸所形成的曲邊梯形[解答] 對(duì)求二次導(dǎo)數(shù)，由題意可得時(shí)在此區(qū)間上為上凸區(qū)間，即所以，原式⑸：[解答] 原式．計(jì)算下列二重積分：⑴：[解答] 由廣義極坐標(biāo)：，則，由區(qū)域與函數(shù)的對(duì)稱性可得：原式⑵：，并求上序二重積分當(dāng)?shù)臉O限[解答] 原式，原式⑶[解答] 原式⑷：及[解答] 原式．設(shè)是半徑為的周長(zhǎng)，證明：證明：將積分化為極坐標(biāo)形式為．設(shè)是上非負(fù)連續(xù)函數(shù)，在上連續(xù)且單調(diào)遞增，證明：證明：左邊⑴右邊⑵⑵－⑴可得⑵＋⑴可得由于都是連續(xù)且單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，從而，則．設(shè)均為正整數(shù)，且其中至少有一個(gè)是奇數(shù)，證明：證明：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，將積分化為先對(duì)后對(duì)的二重積分因?yàn)闉槠鏀?shù)，于是關(guān)于是奇函數(shù)從而，所以.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，同理可證.．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，令，證明：證明：．計(jì)算[解答] 原式．，：由及所圍之區(qū)域.[解答] 設(shè)，則．計(jì)算下列三重積分：⑴，：由及所圍形體[解答] 原式⑵，：及所圍形體[解答] 原式⑶，：由面上的區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的空間區(qū)域，其中：[解答] 利用“先二后一”法將區(qū)間分為兩部分：，：，則原式⑷, ：由及所圍形體[解答] 原式⑸,：由與所圍的空間區(qū)域[解答] 原式⑹，為底面為單位正方形，高為的正四棱錐體，而為錐體中任一點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離[解答] 以底面正方形中心為，建立坐標(biāo)系，其中，，則，此函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故只需計(jì)算第一象限上的部分，由于的方程分別為和，所以彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡詒。原式．求下列曲線所圍圖形的面積.⑴[解答] 兩曲線的交點(diǎn)為所以⑶[解答] 將原式化為極坐標(biāo)形式為，令，可得或所以⑷[解答] 設(shè)，原式化為極坐標(biāo)形式為原式．求曲面夾在兩曲面之間的部分的面積.[解答] 由題意可得則．求用平面與曲面相截所得的截?cái)嗝嬷娣e.[解答] 方法一：由，可得，則所得的截?cái)嗝嬷娣e即求之面積，其中：令，則其中：，即故又橢圓的面積為所以方法二：由兩方程可得，設(shè)所截圓面的半徑為，又原心到平面的距離，則圓面半徑所以．求下列曲面所圍形體的體積.⑴[解答] ⑵[解答] ⑶[解答] ．設(shè)質(zhì)量為，半徑為的非均勻球體，球上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到球心的距離成正比。謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔點(diǎn)。[解答] 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系令，則設(shè)切線過(guò)點(diǎn)，方向向量為，則切線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為習(xí)題十二． 設(shè)在內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，求，其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段. [解答] 令，則，故在單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)方法一：選取積分路徑：從到，再?gòu)牡降恼劬€段，于是方法二：可取曲線:，從到則． 計(jì)算，其中為過(guò)，三點(diǎn)的圓周.[解答] 連接，使與圍成區(qū)域，令，則，由格林公式可得所以． 計(jì)算，是上半圓周，,的坐標(biāo)分別為，.[解答] 連接，使與圍成區(qū)域，令，由格林公式可得則． 計(jì)算，其中為常數(shù)，，為上的一段弧，為上的一段弧.[解答] 連接，使與圍成區(qū)域，令，則，由格林公式可得則 .計(jì)算，其中為連接與的曲線弧段.[解答] 令，, ，故在單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，因此取曲線：，從到則． 計(jì)算，其中是沿橢圓的正向從到的一段弧. [解答] 連接，使圍成區(qū)域，令，則由格林公式可得則． 計(jì)算，其中是依次連接，，的有向折線. [解答] 連接，使圍成區(qū)域，令，則由格林公式可得所以則． 設(shè)平面與橢圓柱面相截，求其在及平面之間的橢圓柱面的側(cè)面積.[解答] 設(shè)則根據(jù)弧長(zhǎng)的曲面積分令，當(dāng)從時(shí)，從，從原式． 計(jì)算，其中和為連續(xù)函數(shù)，為連接和點(diǎn)的任何路徑，但與線段圍成圖形有定面積. [解答] ．計(jì)算