多元統(tǒng)計分析教案0(編輯修改稿)
2025-05-14 00:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 三個新變量分別命名為總收入﹑總收入變化率和經(jīng)濟發(fā)展或衰退的趨勢。這樣，用3個綜合變量取代了原來的17個變量，問題得到了極大的簡化。一個多變量的高維系統(tǒng)如何進行降維處理，可以用幾個最直觀的例子來說明主成分分析的工作思路。假設有一個二維數(shù)據(jù)表，表中數(shù)據(jù)點的分布如圖所示，重心為g，很顯然，在長軸方向上，數(shù)據(jù)的離差最大，因此，所反映的數(shù)據(jù)信息也最多，這個方向被稱為數(shù)據(jù)變異的最大方向。如果將原點平移到g，并且做旋轉(zhuǎn)變換，便得到一個正交坐標系。可以看出，若省略短軸，將數(shù)據(jù)點在長軸上投影，就會得到一個簡化的一維數(shù)據(jù)系統(tǒng)。因此，降維處理的核心思想，就是省卻變異不大的變量方向。又如，一個三維數(shù)據(jù)群點的分布是球形的，假若這個球是餅狀的，其變異較大的方向為u1和u2，而u3方向的變異很小，即在該方向上各樣本點取值沒有很大的差別，就可以不考慮u3方向，三維空間的數(shù)據(jù)點就可以在二維平面圖上得以顯示。達到降維的目的。從中也可以看出主成分分析從幾何上看是尋找p維空間中橢球體的主軸問題。主成分分析是考察多個定量（數(shù)值）變量間相關性的一種多元統(tǒng)計方法。它是研究如何通過少數(shù)幾個主成分來解釋多變量的方差—協(xié)方差結(jié)構(gòu)，其功能在于簡化原有的變量群。具體地說，就是設法將原來多個指標重新組合成一組新的相互無關的綜合指標，來代替原來指標，同時根據(jù)實際需要從中可取幾個較少的綜合指標盡可能多的反映原來指標的信息。這些綜合指標是原來指標的線性組合，我們稱之為主成分。通過這種方法可以降低數(shù)據(jù)維數(shù)，消除原始變量之間的相關性以便進一步利用其他方法對數(shù)據(jù)進行分析。 主成分分析的基本思想各指標間既然有一定的相關性，就必然存在著起支配作用的共同因素，根據(jù)這一點，通過對原始變量相關矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)關系的研究，找出影響某一過程的幾個綜合指標，使綜合指標為原來變量的線性組合，并使其盡可能多的反映原來指標的信息，綜合指標反映的信息量用其方差來表達，即綜合指標的方差越大，表示其包含的信息越多。在所有的線性組合中方差最大的稱為第一主成分，如果第一主成分不足以代表原來P個指標的信息，再選取第二個線性組合作為第二主成分，第一主成分已有的信息就不需要再出現(xiàn)在第二主成分中，依次可造出P個主成分。這些主成分之間不僅不相關，而且它們的方差依次遞減。在解決實際問題時，一般不是取P個主成分，而是根據(jù)累計貢獻率的大小取前幾個最大主成分，既保留了原指標大部分的信息，又達到降維的目的。2 主成分分析模型及幾何解釋 主成分分析的數(shù)學模型設原始變量為考慮它們的線性變換（或)，即其中滿足以下條件：（1）c；（2）即是的一切線性組合中方差最大者，2是方差次大者，依此類推，稱為ｐ的第一主成分，為第二主成分，…，ｐ為第個主成分。 主成分的幾何意義主成分分析從幾何上看是尋找維空間中橢球體的主軸問題。3 主成分的計算主成分其實就是原來指標的一些特殊的線性組合，這些線性組合的系數(shù)就是原指標協(xié)方差矩陣特征值所對應的特征向量。 主成分的確定用數(shù)學語言來描述即：設,的特征根，所對應的（單位）特征向量.則隨機向量的第個主成分,（），即為的第大特征根對應的單位特征向量。求主成分關鍵在于求出協(xié)方差陣V的特征向量，但實際中V是未知的，一般可用S作為V的估計求出S的特征值和特征向量作為V的特征值和特征向量的估計。通常，在進行數(shù)據(jù)分析之前，為了消除量綱影響要先將數(shù)據(jù)進行標準化，而對于標準化數(shù)據(jù)來說，其S與R相同，故在實際中常由樣本相關陣去估計V的特征值和特征向量。 貢獻率和累計貢獻率第個主成分的貢獻率為在特征值總和中所占的比重，即；前個主成分的累計貢獻率為前個特征值在特征值總和中所占的比重，即。累計貢獻率表達了前個主成分對原始變量的信息提取率。通常取使得前個主成分的累計貢獻率達到70％至80％即可。4 主成分分析計算步驟1）將原始數(shù)據(jù)標準化，仍記為2）求相關系數(shù)陣，(或)3）求相關系數(shù)陣的特征根，所對應的（單位）特征向量.4）求第個主成分即根據(jù)累計貢獻率確定個主成分個數(shù)，選擇前個主成分第五章 因子分析1 因子分析及基本思想 因子分析的概念因子分析是主成分分析的推廣和發(fā)展，它也是多元統(tǒng)計分析中降維的一種方法。因子分析從研究相關矩陣內(nèi)部的依賴關系出發(fā)，把一些具有錯綜復雜關系的變量歸結(jié)為少數(shù)幾個綜合因子，以再現(xiàn)原始變量和因子之間的相關關系。它是多元分析中一種降維和分析、簡化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的方法。因子分析的形成和早期發(fā)展一般認為是從Charles Spearman在1904年發(fā)表的文章《對智力測驗得分進行統(tǒng)計分析》開始的。因子分析的形成和發(fā)展有相當長的歷史，最早用于研究解決心理學和教育學方面的問題，由于計算量大，又缺少高速計算的設備使因子分析的應用和發(fā)展受到很大的限制，甚至停滯了很長時間。后來由于電子計算機的出現(xiàn)，才使因子分析的理論研究和計算問題，有了很大的進展。目前因子分析在心理學﹑社會學﹑經(jīng)濟學等學科都有成功的應用。 因子分析的基本思想根據(jù)相關性大小把變量分組，使得同組內(nèi)的變量間相關關系強，不同組的變量間相關性較低，每組變量代表一個基本結(jié)構(gòu)，這個基本結(jié)構(gòu)稱為公共因子，可用最少個數(shù)的不可測的所
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