外接球的表面積和體積高考試題精選一資料1資料(編輯修改稿)
2025-05-13 22:39 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ． 7．（2016?衡水模擬）四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．若AB=2，則球O的表面積為（ ）A．8π B．12π C．16π D．32π【解答】解：取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心為G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面體ABCD外接球的表面積為：4πR2=16π．故選：C． 8．（2016?南昌三模）已知正△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值是（ ?。〢．π B．2π C．π D．3π【解答】解：設(shè)正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1A∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵球的半徑R=2，球心O到平面ABC的距離為1，得O1O=1，∴Rt△O1OA中，O1A=．又∵E為AB的中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，∴AE=AO1cos30176。=．∵過(guò)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，∴當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面圓的面積有最小值．此時(shí)截面圓的半徑r=，可得截面面積為S=πr2=．故選C． 9．（2016?河南模擬）已知在三棱錐P﹣ABC中，VP﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱錐P﹣ABC外接球的體積為（ ?。〢． B． C． D．【解答】解：由題意，設(shè)PC=2x，則∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC為等腰直角三角形，∴PC邊上的高為x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距離為x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC==，∴VP﹣ABC=VA﹣PBC==，∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴PC的中點(diǎn)為球心，球的半徑為2，∴三棱錐P﹣ABC外接球的體積為=．故選：D． 10．（2016?湖南二模）已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的表面積為（ ?。〢．4π B．8π C．12π D．16π【解答】解：由已知中三棱錐的高為1底面為一個(gè)直角三角形，由于底面斜邊上的中線長(zhǎng)為1，則底面的外接圓半徑為1，頂點(diǎn)在底面上的投影落在底面外接圓的圓心上，由于頂點(diǎn)到底面的距離，與底面外接圓的半徑相等，所以底面直角三角形斜邊中點(diǎn)就是外接球的球心；則三棱錐的外接球半徑R為1，則三棱錐的外接球表面積S=4πR2=4π故選：A 11．（2016?湖南校級(jí)模擬）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)都在球面上，它們的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是右圖．圖中圓內(nèi)有一個(gè)以圓心為中心邊長(zhǎng)為1的正方形．則這個(gè)四面體的外接球的表面積是（ ?。〢．π B．3π C．4π D．6π【解答】解：由三視圖可知：該四面體是正方體的一個(gè)內(nèi)接正四面體．∴此四面體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為．∴此四面體的外接球的表面積為表面積為=3π．故選：B． 12．（2016?大慶一模）已知在三棱錐P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是（ ）A．π B．3π C． D．2π【解答】解：由題意，AC為截面圓的直徑，AC=，設(shè)球心到平面ABC的距離為d，球的半徑為R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距離為．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面積為4πR2=3π．故選：B． 13．（2016?中山市校級(jí)模擬）球面上有三點(diǎn)A、B、C組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中AB=18，BC=24，AC=30，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，則球的表面積為（ ）A．1200π B．1400π C．1600π D．1800π【解答】解：∵AB2+BC2=182+242=302=AC2，∴△ABC為直角三角形，且其外接圓的半徑為=15，即截面圓的半徑r=15，又球心到截面的距離為d=R，∴R2﹣=152，∴R=10，∴球的表面積S=4πR2=4π=1200π．故選：A． 14．（2016?泉州校級(jí)模擬）已知球O的半徑為R，A，B，C
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