函數(shù)基礎知識復習(編輯修改稿)
2025-05-13 22:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1，則x＝，∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg .(2)x∈(－1,1)時，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)． 求函數(shù)解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)換元法；(3)待定系數(shù)法；(4)解函數(shù)方程等．7. (1)已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，試求f(x)的表達式．(2)已知f(x)＋2f()＝2x＋1，求f(x)．解 (1)由題意可設f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，則a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1∴解得a＝，b＝.因此f(x)＝x2＋x.(2)由已知得消去f，得f(x)＝.8. 求函數(shù)y＝log(x2－3x)的單調(diào)區(qū)間．正解 設t＝x2－3x，由t＞0，得x＜0或x＞3，即函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(3，＋∞)．函數(shù)t的對稱軸為直線x＝，故t在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．而函數(shù)y＝logt為單調(diào)遞減函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y＝log(x2－3x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(3，＋∞)．9. 求函數(shù)f(x)＝log2(x2－2x－3)的單調(diào)區(qū)間．[嘗試解答] 由x2－2x－3＞0，得x＜－1或x＞3，即函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令t＝x2－2x－3，則其對稱軸為x＝1，故t在(－∞，－1)上是減函數(shù)，在(3，＋∞)上是增函數(shù)．又y＝log2t為單調(diào)增函數(shù)．故函數(shù)y＝log2(x2－2x－3)的單調(diào)增區(qū)間為(3，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1)．10.．(2011江蘇)函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是______．解析 要使y＝log5(2x＋1)有意義，則2x＋1＞0，即x＞－，而y＝log5u為(0，＋∞)上的增函數(shù)，當x＞－時，u＝2x＋1也為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.答案 11. 函數(shù)y＝在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 （ ）A．a(chǎn)＝－3 B．a(chǎn)3 C．a(chǎn)≤－3 D．a(chǎn)≥－3解析 y＝＝1＋，需即∴a≤－3.答案 C12. 已知函數(shù)f(x)對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－.(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[審題視點] 抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷，仍須緊扣定義，結(jié)合題目作適當變形．(1)證明 法一 ∵函數(shù)f(x)對于任意x，y∈R總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，則x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0時，
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