【文章內容簡介】 落實．“由形到數(shù)”經歷了4個操作步驟：坐標系——數(shù)軸——表格——二分法．形象逐漸演變?yōu)閿?shù)式，代數(shù)味越來越重、越來越濃． （1）坐標系．在二維坐標系上可以看到函數(shù)的圖象與軸的交點（零點），這個交點（零點）在軸的2與3之間．這是二維坐標系的形象．（如圖4） （2）數(shù)軸．因為是找軸上的零點，所以考慮一維數(shù)軸上的區(qū)間]就夠了，取區(qū)間的中點，用區(qū)間套逐步逼近零點．這是一維數(shù)軸上的形象，零點在區(qū)間上被逼近．（參見圖4中的軸） 圖4（3）表格，把逼近的形象用數(shù)值反映出來，計算端點的函數(shù)值，填寫在表格上，區(qū)間兩端點的數(shù)值越來越接近零點．這就把一維形象通過表格呈現(xiàn)為“數(shù)”．（4）得出“二分法”的一般程序．這是一維的純代數(shù)表達，也是從特殊到一般的歸納．這一過程的基本線索是把找函數(shù)零點（形）的方法直觀地提煉為“二分法”程序（數(shù)）．學生在這個雙流向“數(shù)形結合”的活動中，從特殊到一般提煉出了“二分法”，看到了“函數(shù)與方程的數(shù)學思想”、體驗了“近似與逼近的數(shù)學思想”，積累了“程序化地處理問題的算法思想”．沒有行動支撐的思想會是空洞而生硬的，沒有思想指導的行動會是盲目而膚淺的．數(shù)學教學既要用數(shù)學思想去指導教學設計，又要用教學操作去落實數(shù)學思想．故事6 直線與平面垂直的判定的探究活動．第探究活動的呈現(xiàn)講授“直線與平面垂直的判定”時，有這樣一個探究活動．（人民教育出版社A版數(shù)學（必修2）167。231） 如圖5，請同學們準備一塊三角形紙片，我們一起來做一個實驗：過的頂點翻折紙片，得到折痕，將翻折后的紙片豎起放置 在桌面上（與桌面接觸）． （1）折痕與桌面垂直嗎？ 圖5（2）如何翻折才能使折痕與桌面所在的平面垂直？容易發(fā)現(xiàn)，當且僅當折痕是邊上的高時，所在的直線與桌面所在的平面垂直（圖6）． 圖6 思考（1），有人說，折痕所在的直線與桌面所在的平面上一條直線垂直，就可以判斷垂直平面．你同意他的說法嗎？（一般不行，在的垂面上可以）思考（2），如圖6，由折痕，翻折后垂直關系不變，即，由此你能得到什么結論？一般地，我們有下面的判定定理．定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．第探究活動的改進 我們說，這個活動有淪為“低效教學”的危險，照本宣科的教師會將學生的“容易發(fā)現(xiàn)”代替他（她）應該發(fā)揮的主導作用．有兩個值得思考的問題：（1）為什么要考慮兩條相交直線？（故事2中“為什么要計算與的比”）（2）沒有把活動結果與“線面垂直的定義”相對照．為什么圖5的折痕與桌面不垂直？為什么圖6的折痕與桌面垂直？判別的標準只有一個：線面垂直的定義．就是看直線是否與平面內的任意一條直線都垂直． 但是，既不作嚴格的證明，又要有直觀上的說服力，能做到嗎？追求高效課堂的教師給出了有出息的回答．方案：垂直于一條直線不行，直線可以轉動；垂直于兩條平行直線也不行，直線也可以轉動．但垂直于兩條相交直線就不同了，直線一轉動就不能保持與兩條相交直線都垂直．對圖6，在桌面上放置一面鏡子，看折痕的影子是否與共線，若不共線（對應圖5）則容易找到鏡子上的一條直線與折痕不垂直（比如折痕與倒影所成角的平分線）；若折痕與倒影共線（對應圖6），這時可以讓圖6右邊的圖形繞旋轉，旋轉過程中可以看到：（1）折痕所在的直線不動；（不變性）（2）保持不變；（不變性）（3）可以取遍平面上所有方向的直線；根據(jù)線面垂直的定義，折痕與鏡子上的任意一條直線都垂直．旋轉過程可以先一圈，明白了，減為半圈，最后不旋轉也明白．由此可得判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．（既不作嚴格的證明，又要有直觀上的說服力）這體現(xiàn)了結合教學進行研究——行動研究（成為數(shù)學教育家的前景）．22 在“教育數(shù)學”中“崗位成家”（建議3）“教育數(shù)學”是張景中院士首先提出的一個新概念（《數(shù)學教師》，1989年第2期，署名井中），它的任務是：為了數(shù)學教育的需要，對數(shù)學成果進行再創(chuàng)造；承擔這一任務的是教育（數(shù)學家．歐幾里得的《幾何原本》、希爾伯特的《幾何基礎》、柯西的《分析教程》、布爾巴基的《數(shù)學原理》等都是教育數(shù)學．在中國數(shù)學的歷史上，優(yōu)質小叢書的創(chuàng)作、“初等數(shù)學”的研究、競賽數(shù)學與高考數(shù)學的構建等，都是“教育數(shù)學”的組成部分．如果說，面對學生數(shù)學學習的困難有人用“學少一些、學淺一些”來解決的話，那么，“教育數(shù)學”則著眼于提供“新的結構、新的方法、新的體系”,使學習更容易而又更豐富．（我國的課程標準好像是:由數(shù)學教育家發(fā)布，然后由教育數(shù)學家修訂）進行“教育數(shù)學”的研究可以繼續(xù)搜尋初等數(shù)學的新結論，為初等數(shù)學的理論寶庫增添新的資源；也可以闡發(fā)現(xiàn)代數(shù)學與初等數(shù)學的聯(lián)系，為現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展提供深刻的背景；還可以既作為解題理論提煉的基本素材、又作為解題理論檢測的實驗園地．這些工作能使解題研究不再是一株只開花不結果的綠樹．當前，抓住下面3個基本方向進行“教育數(shù)學”研究是有益的，既便于開展工作，又能夠出成果（有成為教育數(shù)學家的前景）． （1）從高等數(shù)學出發(fā)，應用高等數(shù)學的知識和能力，去高觀點處理初等問題，取得初等問題的高統(tǒng)一，新推廣、深發(fā)展.容易理解：①初等數(shù)學中的好些已知部分，由于采用的觀點高了，方法先進了，是會得到升華的；其中的一些內容，也唯有采用高觀點，新方法，才能完成理論上的體系，才能達到結構上的完整，才能獲得方法論上的統(tǒng)一．數(shù)系、函數(shù)等概念和理論，僅限于中學范圍，只能作比較粗糙的、有點松散的處理；而不等式證明、極值求解、解析幾何的運動以及更廣泛的解題方法，除非從高等數(shù)學的思想方法中吸取營養(yǎng)，否則將永遠是解題者的個人機智和因題而異的一招一式，因此，用高等數(shù)學的知識去統(tǒng)一初等數(shù)學的概念和理論；用高等數(shù)學的思想方法去總結初等數(shù)學的解題規(guī)律；用高等數(shù)學的能力去推廣初等數(shù)學的已知結論和增補初等數(shù)學的未知空擋等等，都是既有理論水平又有實際價值的課題．②初等數(shù)學中的一些空擋，也會由于現(xiàn)代思想的高能量幅射和現(xiàn)代化技術的高效率開發(fā)而顯現(xiàn)出來．如所周知，波利亞以初等數(shù)學為題材，進行解題方法和數(shù)學發(fā)現(xiàn)的研究，獲得了世界公認的成果．吳文俊教授研究計算機證明平面幾何題，不斷涌出新的定理． （2）從初等數(shù)學出發(fā)，應用初等數(shù)學的思想、觀點和方法，去尋找高等問題的初等處理或實際應用.①應該認識到，高等數(shù)學的許多基礎部分都植根于初等數(shù)學，至今，初等數(shù)學的各種方法、原理、公式，模型還不斷被高等數(shù)學所吸收、改造、運用和發(fā)展．②另一方面，高等數(shù)學的許多專題，又是完全可以初等化、通俗化的．比如，循環(huán)數(shù)列、函數(shù)方程、母函數(shù)、圖論、組合數(shù)學等不是已經源源涌進中學校園、特別是第二課堂了嗎? （3）對初等數(shù)學進行橫斷面的綜合研究.截取初等數(shù)學中的某些橫斷面，并盡可能與其他相關學科作交叉，將有可能產生新課題、新領域或新學科．筆者在這方面主要做了三件互有聯(lián)系的工作：①進行“數(shù)學解題學”的建設．這是截取“解題”這一橫斷面，進行解題過程的理論分析，主要是從解題活動本身提煉理論價值，探索“怎樣解題”、“怎樣學會解題”的規(guī)律，努力總結人們發(fā)現(xiàn)解法、找到思路、學會解題的思維模式．由于理論構架的不同，可以有百花齊放的解題觀點，如解題推理論，解題化歸論，解題化簡論，解題信息論，解題系統(tǒng)論，解題差異論，解題坐標系等等．最重要的是，我們要了解已有的觀點，并形成之際的觀點．附：數(shù)學解題新概念的13個要點：（1）對數(shù)學題、數(shù)學解題、數(shù)學解題教學作出了初步的界定．（特別提示:如何構建概念、怎樣發(fā)現(xiàn)和論證定理也是題?。?）認為：回答“怎樣解題”“怎樣學會解題”的學說叫做“數(shù)學解題學”．（“數(shù)學解題學”研究的對象是“解題活動”（是從“解題活動”本身提煉理論價值），提出了“數(shù)學解題學”建設工作中的基本矛盾和主要標志，給出了支撐解題理論的一批名詞：解題思想、解題觀點、解題目的、解題過程、解題程序、解題方法、解題原則、解題策略、解題分析、解題力量等．）（3）認為成功解題有四個基本要素：知識結構、思維能力、經驗題感、情感態(tài)度，從而不成功或失敗的解題也與這些因素缺失有關，總結為四類錯誤：知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤、心理性錯誤．（4）總結了解題推理論、解題化歸論、解題化簡論、解題信息論、解題系統(tǒng)論、解題差異論、解題坐標系等解題觀點．認為，出現(xiàn)百花齊放的解題觀點是一個學說走向成熟的必經階段，贊成先了解各種解題觀點并最終形成自己的解題觀點． （5）認為數(shù)學家解題是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，教學解題是師生再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的過程．教學是一種學術活動，解題教學中的數(shù)學題可以是一個微型的學術課題，解答數(shù)學題應該是探索與發(fā)現(xiàn)的研究活動，解題不僅僅是熟練和鞏固，它也是獲取數(shù)學新知識和數(shù)學新技能的學習過程． （6）認為數(shù)學解題是數(shù)學學習中不可或缺的核心內容，數(shù)學解題的思維實質是發(fā)生數(shù)學，是通過數(shù)學去學數(shù)學．．（7）認為數(shù)學解題是數(shù)學學習中不可替代的實質活動，解題活動的核心價值是掌握數(shù)學，是通過數(shù)學活動去學會數(shù)學．（8）認為數(shù)學解題是評價學習時不可削弱的基本構成，解題測試的基本理念是呈現(xiàn)數(shù)學，是通過數(shù)學內容去測試數(shù)學水平．（9）提出了數(shù)學教育中數(shù)學的四種形態(tài)和數(shù)學教學的三個世界．