【文章內(nèi)容簡介】 落實．“由形到數(shù)”經(jīng)歷了4個操作步驟：坐標系——數(shù)軸——表格——二分法．形象逐漸演變?yōu)閿?shù)式，代數(shù)味越來越重、越來越濃． （1）坐標系．在二維坐標系上可以看到函數(shù)的圖象與軸的交點（零點），這個交點（零點）在軸的2與3之間．這是二維坐標系的形象．（如圖4） （2）數(shù)軸．因為是找軸上的零點，所以考慮一維數(shù)軸上的區(qū)間]就夠了，取區(qū)間的中點，用區(qū)間套逐步逼近零點．這是一維數(shù)軸上的形象，零點在區(qū)間上被逼近．（參見圖4中的軸） 圖4（3）表格，把逼近的形象用數(shù)值反映出來，計算端點的函數(shù)值，填寫在表格上，區(qū)間兩端點的數(shù)值越來越接近零點．這就把一維形象通過表格呈現(xiàn)為“數(shù)”．（4）得出“二分法”的一般程序．這是一維的純代數(shù)表達，也是從特殊到一般的歸納．這一過程的基本線索是把找函數(shù)零點（形）的方法直觀地提煉為“二分法”程序（數(shù)）．學(xué)生在這個雙流向“數(shù)形結(jié)合”的活動中，從特殊到一般提煉出了“二分法”，看到了“函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想”、體驗了“近似與逼近的數(shù)學(xué)思想”，積累了“程序化地處理問題的算法思想”．沒有行動支撐的思想會是空洞而生硬的，沒有思想指導(dǎo)的行動會是盲目而膚淺的．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)既要用數(shù)學(xué)思想去指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計，又要用教學(xué)操作去落實數(shù)學(xué)思想．故事6 直線與平面垂直的判定的探究活動．第探究活動的呈現(xiàn)講授“直線與平面垂直的判定”時，有這樣一個探究活動．（人民教育出版社A版數(shù)學(xué)（必修2）167。231） 如圖5，請同學(xué)們準備一塊三角形紙片，我們一起來做一個實驗：過的頂點翻折紙片，得到折痕，將翻折后的紙片豎起放置 在桌面上（與桌面接觸）． （1）折痕與桌面垂直嗎？ 圖5（2）如何翻折才能使折痕與桌面所在的平面垂直？容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕是邊上的高時，所在的直線與桌面所在的平面垂直（圖6）． 圖6 思考（1），有人說，折痕所在的直線與桌面所在的平面上一條直線垂直，就可以判斷垂直平面．你同意他的說法嗎？（一般不行，在的垂面上可以）思考（2），如圖6，由折痕，翻折后垂直關(guān)系不變，即，由此你能得到什么結(jié)論？一般地，我們有下面的判定定理．定理 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．第探究活動的改進 我們說，這個活動有淪為“低效教學(xué)”的危險，照本宣科的教師會將學(xué)生的“容易發(fā)現(xiàn)”代替他（她）應(yīng)該發(fā)揮的主導(dǎo)作用．有兩個值得思考的問題：（1）為什么要考慮兩條相交直線？（故事2中“為什么要計算與的比”）（2）沒有把活動結(jié)果與“線面垂直的定義”相對照．為什么圖5的折痕與桌面不垂直？為什么圖6的折痕與桌面垂直？判別的標準只有一個：線面垂直的定義．就是看直線是否與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直． 但是，既不作嚴格的證明，又要有直觀上的說服力，能做到嗎？追求高效課堂的教師給出了有出息的回答．方案：垂直于一條直線不行，直線可以轉(zhuǎn)動；垂直于兩條平行直線也不行，直線也可以轉(zhuǎn)動．但垂直于兩條相交直線就不同了，直線一轉(zhuǎn)動就不能保持與兩條相交直線都垂直．對圖6，在桌面上放置一面鏡子，看折痕的影子是否與共線，若不共線（對應(yīng)圖5）則容易找到鏡子上的一條直線與折痕不垂直（比如折痕與倒影所成角的平分線）；若折痕與倒影共線（對應(yīng)圖6），這時可以讓圖6右邊的圖形繞旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中可以看到：（1）折痕所在的直線不動；（不變性）（2）保持不變；（不變性）（3）可以取遍平面上所有方向的直線；根據(jù)線面垂直的定義，折痕與鏡子上的任意一條直線都垂直．旋轉(zhuǎn)過程可以先一圈，明白了，減為半圈，最后不旋轉(zhuǎn)也明白．由此可得判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．（既不作嚴格的證明，又要有直觀上的說服力）這體現(xiàn)了結(jié)合教學(xué)進行研究——行動研究（成為數(shù)學(xué)教育家的前景）．22 在“教育數(shù)學(xué)”中“崗位成家”（建議3）“教育數(shù)學(xué)”是張景中院士首先提出的一個新概念（《數(shù)學(xué)教師》，1989年第2期，署名井中），它的任務(wù)是：為了數(shù)學(xué)教育的需要，對數(shù)學(xué)成果進行再創(chuàng)造；承擔(dān)這一任務(wù)的是教育（數(shù)學(xué)家．歐幾里得的《幾何原本》、希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》、柯西的《分析教程》、布爾巴基的《數(shù)學(xué)原理》等都是教育數(shù)學(xué)．在中國數(shù)學(xué)的歷史上，優(yōu)質(zhì)小叢書的創(chuàng)作、“初等數(shù)學(xué)”的研究、競賽數(shù)學(xué)與高考數(shù)學(xué)的構(gòu)建等，都是“教育數(shù)學(xué)”的組成部分．如果說，面對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難有人用“學(xué)少一些、學(xué)淺一些”來解決的話，那么，“教育數(shù)學(xué)”則著眼于提供“新的結(jié)構(gòu)、新的方法、新的體系”,使學(xué)習(xí)更容易而又更豐富．（我國的課程標準好像是:由數(shù)學(xué)教育家發(fā)布，然后由教育數(shù)學(xué)家修訂）進行“教育數(shù)學(xué)”的研究可以繼續(xù)搜尋初等數(shù)學(xué)的新結(jié)論，為初等數(shù)學(xué)的理論寶庫增添新的資源；也可以闡發(fā)現(xiàn)代數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供深刻的背景；還可以既作為解題理論提煉的基本素材、又作為解題理論檢測的實驗園地．這些工作能使解題研究不再是一株只開花不結(jié)果的綠樹．當(dāng)前，抓住下面3個基本方向進行“教育數(shù)學(xué)”研究是有益的，既便于開展工作，又能夠出成果（有成為教育數(shù)學(xué)家的前景）． （1）從高等數(shù)學(xué)出發(fā)，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識和能力，去高觀點處理初等問題，取得初等問題的高統(tǒng)一，新推廣、深發(fā)展.容易理解：①初等數(shù)學(xué)中的好些已知部分，由于采用的觀點高了，方法先進了，是會得到升華的；其中的一些內(nèi)容，也唯有采用高觀點，新方法，才能完成理論上的體系，才能達到結(jié)構(gòu)上的完整，才能獲得方法論上的統(tǒng)一．?dāng)?shù)系、函數(shù)等概念和理論，僅限于中學(xué)范圍，只能作比較粗糙的、有點松散的處理；而不等式證明、極值求解、解析幾何的運動以及更廣泛的解題方法，除非從高等數(shù)學(xué)的思想方法中吸取營養(yǎng)，否則將永遠是解題者的個人機智和因題而異的一招一式，因此，用高等數(shù)學(xué)的知識去統(tǒng)一初等數(shù)學(xué)的概念和理論；用高等數(shù)學(xué)的思想方法去總結(jié)初等數(shù)學(xué)的解題規(guī)律；用高等數(shù)學(xué)的能力去推廣初等數(shù)學(xué)的已知結(jié)論和增補初等數(shù)學(xué)的未知空擋等等，都是既有理論水平又有實際價值的課題．②初等數(shù)學(xué)中的一些空擋，也會由于現(xiàn)代思想的高能量幅射和現(xiàn)代化技術(shù)的高效率開發(fā)而顯現(xiàn)出來．如所周知，波利亞以初等數(shù)學(xué)為題材，進行解題方法和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的研究，獲得了世界公認的成果．吳文俊教授研究計算機證明平面幾何題，不斷涌出新的定理． （2）從初等數(shù)學(xué)出發(fā)，應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的思想、觀點和方法，去尋找高等問題的初等處理或?qū)嶋H應(yīng)用.①應(yīng)該認識到，高等數(shù)學(xué)的許多基礎(chǔ)部分都植根于初等數(shù)學(xué)，至今，初等數(shù)學(xué)的各種方法、原理、公式，模型還不斷被高等數(shù)學(xué)所吸收、改造、運用和發(fā)展．②另一方面，高等數(shù)學(xué)的許多專題，又是完全可以初等化、通俗化的．比如，循環(huán)數(shù)列、函數(shù)方程、母函數(shù)、圖論、組合數(shù)學(xué)等不是已經(jīng)源源涌進中學(xué)校園、特別是第二課堂了嗎? （3）對初等數(shù)學(xué)進行橫斷面的綜合研究.截取初等數(shù)學(xué)中的某些橫斷面，并盡可能與其他相關(guān)學(xué)科作交叉，將有可能產(chǎn)生新課題、新領(lǐng)域或新學(xué)科．筆者在這方面主要做了三件互有聯(lián)系的工作：①進行“數(shù)學(xué)解題學(xué)”的建設(shè)．這是截取“解題”這一橫斷面，進行解題過程的理論分析，主要是從解題活動本身提煉理論價值，探索“怎樣解題”、“怎樣學(xué)會解題”的規(guī)律，努力總結(jié)人們發(fā)現(xiàn)解法、找到思路、學(xué)會解題的思維模式．由于理論構(gòu)架的不同，可以有百花齊放的解題觀點，如解題推理論，解題化歸論，解題化簡論，解題信息論，解題系統(tǒng)論，解題差異論，解題坐標系等等．最重要的是，我們要了解已有的觀點，并形成之際的觀點．附：數(shù)學(xué)解題新概念的13個要點：（1）對數(shù)學(xué)題、數(shù)學(xué)解題、數(shù)學(xué)解題教學(xué)作出了初步的界定．（特別提示:如何構(gòu)建概念、怎樣發(fā)現(xiàn)和論證定理也是題?。?）認為：回答“怎樣解題”“怎樣學(xué)會解題”的學(xué)說叫做“數(shù)學(xué)解題學(xué)”．（“數(shù)學(xué)解題學(xué)”研究的對象是“解題活動”（是從“解題活動”本身提煉理論價值），提出了“數(shù)學(xué)解題學(xué)”建設(shè)工作中的基本矛盾和主要標志，給出了支撐解題理論的一批名詞：解題思想、解題觀點、解題目的、解題過程、解題程序、解題方法、解題原則、解題策略、解題分析、解題力量等．）（3）認為成功解題有四個基本要素：知識結(jié)構(gòu)、思維能力、經(jīng)驗題感、情感態(tài)度，從而不成功或失敗的解題也與這些因素缺失有關(guān)，總結(jié)為四類錯誤：知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤、心理性錯誤．（4）總結(jié)了解題推理論、解題化歸論、解題化簡論、解題信息論、解題系統(tǒng)論、解題差異論、解題坐標系等解題觀點．認為，出現(xiàn)百花齊放的解題觀點是一個學(xué)說走向成熟的必經(jīng)階段，贊成先了解各種解題觀點并最終形成自己的解題觀點． （5）認為數(shù)學(xué)家解題是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，教學(xué)解題是師生再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的過程．教學(xué)是一種學(xué)術(shù)活動，解題教學(xué)中的數(shù)學(xué)題可以是一個微型的學(xué)術(shù)課題，解答數(shù)學(xué)題應(yīng)該是探索與發(fā)現(xiàn)的研究活動，解題不僅僅是熟練和鞏固，它也是獲取數(shù)學(xué)新知識和數(shù)學(xué)新技能的學(xué)習(xí)過程． （6）認為數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的核心內(nèi)容，數(shù)學(xué)解題的思維實質(zhì)是發(fā)生數(shù)學(xué)，是通過數(shù)學(xué)去學(xué)數(shù)學(xué)．．（7）認為數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可替代的實質(zhì)活動，解題活動的核心價值是掌握數(shù)學(xué)，是通過數(shù)學(xué)活動去學(xué)會數(shù)學(xué)．（8）認為數(shù)學(xué)解題是評價學(xué)習(xí)時不可削弱的基本構(gòu)成，解題測試的基本理念是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)，是通過數(shù)學(xué)內(nèi)容去測試數(shù)學(xué)水平．（9）提出了數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)的四種形態(tài)和數(shù)學(xué)教學(xué)的三個世界．