【文章內(nèi)容簡介】 AABBV?＝ ba1DABBV?， 但1DABBV?＝1B ABDV?＝ 13 12 ａ 2ｈ＝ 16 a2ｈ， 故11DAABBV?＝1DABBV?＋11DAABV? ＝ 16 a2ｈ＋ ba 16 a2ｈ＝ 16 (a2＋ａｂ )ｈ． 從而1 1 1 1ABCD ABCDV ?＝11DAABBV?＋11D BBCCV?＋1 1 1 1D ABCDV? ＝ 16 (a2＋ａｂ )ｈ＋ 16 (a2＋ａｂ )ｈ＋ 13 b2ｈ ＝ 13 （ a2＋ ab＋ b2） h． 你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他問題 ?”能，至少我們可以由正四棱臺體積公式一般化為棱臺體積公式 (方法是一樣的 )．注意到 2＝Ｓ1， b2＝Ｓ2，ａｂ＝ 12SS ， 可一般化猜想棱臺的體積公式為 Ｖ 臺 ＝ 13 (Ｓ 1＋ 12SS ＋Ｓ 2)ｈ． ３ 波利亞的解題觀 對于波利亞的怎樣解題表及有關(guān)著作，人們從不同的角度闡發(fā)了對波利亞解題思想的認識 (見參考文獻 )，我們將其歸結(jié)為 5 個要點． ３．１ 程序化的解題系統(tǒng) 怎樣解題表，就 “怎樣解題 ”、 “教師應(yīng)教學(xué)生做些什么 ”等問題，把 “解題中典型有用的智力活動 ”，按照正常人解決問題時思維的自然過程分成四個階段 ——弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧，從而描繪出解題理論的一個總體輪廓，也組成了一個完整的解題教學(xué)系統(tǒng)．既體現(xiàn)常識性，又體現(xiàn)由常識上升為理論 (普遍性 )的自覺努力． 這四個階段首先是一個四步驟的宏觀解題程序，其中 “實現(xiàn)計劃 ”雖為主體工作，但較為容易完成，是思路打通之后具體實施信息資源的邏輯配置， “我們所需要的只是耐心 ”；其次，“弄清問題 ”是認識問題、并對問題進行表征的過程，應(yīng)成為成功解決問題的一個必要前提；與前兩者相比， “回顧 ”是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來，是一個有遠見的做法，在整個解題表中 “擬定計劃 ”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容． 擬定計劃 ”的過程是在 “過去的經(jīng)驗和已有的知識 ”基礎(chǔ)上，探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，波利亞的 建議是分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系 (模式識別等 )；第二，如果找不出直接的聯(lián)系，就對原來的問題做出某些必要的變更或修改，引進輔助問題，為此，波利亞又進一步建議：看著未知數(shù)，回到定義去，重新表述問題，考慮相關(guān)問題，分解或重新組合，特殊化，一般化，類比等，積極誘發(fā)念頭，努力變化問題．這實際上是闡述和應(yīng)用解題策略并進行資源的提取與分配． 于是，這個系統(tǒng)就集解題程序、解題基礎(chǔ)、解題策略、解題方法等于一身，融理論與實踐于一體． ３．２ 啟發(fā)式的過程分析 還在當(dāng)學(xué)生的時候，波 利亞就有一個問題一再使他感到困惑： “是的，這個解答好像還行，它看起來是正確的，但怎樣才能想出這樣的解答呢 ?是的，這個實驗好像還行，它看起來是個事實，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這樣的事實 ?而且我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢 ?”從解題論的觀點看，這實際上是既提出了 “怎樣解題 ”又提出了 “怎樣學(xué)會解題 ”的問題，波利亞說，這 “終于導(dǎo)致他寫出本書 ”(指《怎樣解題》 )． 波利亞認為 “數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面 ”， “用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)看來像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實驗性的歸納科學(xué)．這兩個側(cè)面都像數(shù)學(xué) 本身一樣古老．但從某一點說來，第二個側(cè)面則是新的，因為以前從來就沒有 ?照本宣科 ?地把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)照原樣提供給學(xué)生，或教師自己，或公眾． ”他以數(shù)十年的時間悉心研究數(shù)學(xué)啟發(fā)法，其 “怎樣解題 ”的基本思想就可以概括為 “知識＋啟發(fā)法 ”． 在解題表中，波利亞給出了 “啟發(fā)法小詞典 ”，讓讀者通過閱讀詞典來開闊思路、指導(dǎo)實踐，自己學(xué)會怎樣解題． 這些看法來源于波利亞對數(shù)學(xué)教育宗旨的認識，波利亞認為，數(shù)學(xué)教育應(yīng) “教會年輕人去思考 ”，培養(yǎng)學(xué)生的 “獨立性、能動性和創(chuàng)新精神 ”；他認為一個人在學(xué)校所受的教育應(yīng)該受益 終生，他贊成，良好的教育應(yīng)該 “系統(tǒng)地給學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)事物的機會 ”， “應(yīng)該幫助學(xué)生自己再發(fā)現(xiàn)所教的內(nèi)容 ”， “學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它 ”；他特別重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要加強思維訓(xùn)練，要發(fā)展學(xué)生運用所學(xué)知識的能力，發(fā)展技能、技巧、有益的思考方式和科學(xué)的思維習(xí)慣，他反復(fù)指出，數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是傳授知識，還要 “發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊能力 ”．教師要 “教學(xué)生證明問題 ”，也要 “教他們猜想問題 ”．波利亞提出 “合情推理 ”的概念，號召： “讓我們教猜想吧 !” 在解題表的展開中，波利亞則通過剖析典型 例題的思維過程來研究 “發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律 ”．波利亞不斷地提問、不斷地建議， “怎樣才能想出這樣的解答呢 ?”“我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢 ?”既驅(qū)使人們?nèi)シ治鼋忸}過程，又要求人們?nèi)タ偨Y(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中提出： “領(lǐng)會方法的最佳時機，可能是讀者解出一道題的時候，或是閱讀它的解法的時候，也可能是閱讀解法形成過程的時候 ”． 波利亞書中的例題，其實就是對典型例題進行解題過程的分析，就是暴露數(shù)學(xué)解題的思維過程，也就是教人 “怎樣學(xué)會解題 ”．在例 1 中，數(shù)學(xué)操作與思維開展相結(jié)合的圖解或闡釋，使我 們既領(lǐng)會到了這樣的意圖，也見到了這樣的行動． 波利亞對解題過程淋漓盡致的剖析，實質(zhì)上已接觸到心理層面，但沒有用到多少教育學(xué)或思維學(xué)的相關(guān)名詞，基本上都是其數(shù)學(xué)前沿研究中切身體驗的自然流露，數(shù)學(xué)功底和過程體驗發(fā)揮了重要作用．這正是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢，處處有數(shù)學(xué)的 “真刀真槍 ”，絕非“紙上談兵 ”．波利亞說 “貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本 ”，在 “知識 ”與 “組織良好 ”之間，波利亞更強調(diào)后者，他說 “良好的組織使得所提供的知識易于用上，這甚至