【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量＝工作效率工作時(shí)間 工作時(shí)間＝工作量247。工作效率工作時(shí)間＝總工作量247。（甲工作效率＋乙工作效率）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？解 題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式： 1247。（1/10＋1/15）＝1247。1/6＝6（天）答：兩隊(duì)合做需要6天完成。例2 一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？解 設(shè)總工作量為1，則甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成（1/6－1/8），二人合做時(shí)每小時(shí)完成（1/6＋1/8）。因?yàn)槎撕献鲂枰?247。（1/6＋1/8）］小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，所以（1）每小時(shí)甲比乙多做多少零件？24247。［1247。（1/6＋1/8）］＝7（個(gè)）（2）這批零件共有多少個(gè)？ 7247。（1/6－1/8）＝168（個(gè)）答：這批零件共有168個(gè)。解二 上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7所以，這批零件共有 24247。1/7＝168（個(gè)）例3 一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成?，F(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？解 必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會(huì)給計(jì)算帶來方便，因此，我們?cè)O(shè)總工作量為1和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60247。12＝5 60247。10＝6 60247。15＝4 因此余下的工作量由乙丙合做還需要 （60－52）247。（6＋4）＝5（小時(shí)）答：還需要5小時(shí)才能完成。 也可以用（11/12*2）/（1/10+1/15）例4 一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿，至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。我們?cè)O(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為（145），2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為（1215），從而可知每小時(shí)的排水量為 （1215－145）247。（15－5）＝1即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 145－15＝15 又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為 12， 所以，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水 至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？ （15＋12）247。（12）＝≈9（個(gè)） 答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。15 正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。【數(shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少米？解 由條件知，公路總長(zhǎng)不變。原已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12現(xiàn)已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份，從而知公路總長(zhǎng)為 300247。（4－3）12＝3600（米）答： 這條公路總長(zhǎng)3600米。例2 張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？解 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 則有 28∶4＝91∶X28X＝914 X＝914247。28 X＝13答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。例3 孫亮看《十萬個(gè)為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？解 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15 36X＝2415 X＝10答：10天就可以看完。例4 一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。A 252036B16解 由面積247。寬＝長(zhǎng)可知，當(dāng)長(zhǎng)一定時(shí)，面積與寬成正比，所以每一上下兩個(gè)小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因?yàn)榈谝恍腥齻€(gè)小矩形的寬相等，第二行三個(gè)小矩形的寬也相等。因此，A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16 解這兩個(gè)比例，得 A＝45 B＝20所以，大矩形面積為 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162答：大矩形的面積是162.16 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個(gè)部分量的比；從問題看，求幾個(gè)部分量各是多少。 總份數(shù)＝比的前后項(xiàng)之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵？解 總份數(shù)為 47＋48＋45＝140一班植樹 56047/140＝188（棵）二班植樹 56048/140＝192（棵）三班植樹 56045/140＝180（棵） 答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2 用60厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米？解 3＋4＋5＝12 603/12＝15（厘米） 604/12＝20（厘米）605/12＝25（厘米）答：三角形三條邊的長(zhǎng)分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3 從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少只羊。解 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶29＋6＋2＝17 179/17＝9 176/17＝6 172/17＝2答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個(gè)車間共多少人？人 數(shù)80人一共多少人？對(duì)應(yīng)的份數(shù)12－88＋12＋21解 80247。（12－8）（8＋12＋21）＝820（人）答：三個(gè)車間一共820人。17 百分?jǐn)?shù)問題【含義】 百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常常可以通分、約分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)“%”。在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】 掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分?jǐn)?shù)＝比較量247。標(biāo)準(zhǔn)量 標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量247。百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】 一般有三種基本類型：（1） 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；（2） 已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3） 已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。例1 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解 （1）用去的占 720247。（720＋6480）＝10%（2）剩下的占 6480247。（720＋6480）＝90%答：用去了10%，剩下90%。例2 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？ 解 本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量 所以 （525－420）247。525＝＝20% 或者 1－420247。525＝＝20%答：男職工人數(shù)比女職工少20%。例3 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？ 解 本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此 （525－420）247。420＝＝25% 或者 525247。420－1＝＝25%答：女職工人數(shù)比男職工多25%。例4 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？解 （1）男職工占 420247。（420＋525）＝＝%（2）女職工占 525247。（420＋525）＝＝%答：%，%。例5 百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見的百分率有：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)247。原來基數(shù)100%合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)247。產(chǎn)品總數(shù)100%出勤率＝實(shí)際出勤人數(shù)247。應(yīng)出勤人數(shù)100%出勤率＝實(shí)際出勤天數(shù)247。應(yīng)出勤天數(shù)100%缺席率＝缺席人數(shù)247。實(shí)有總?cè)藬?shù)100%發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)247。試驗(yàn)種子總數(shù)100%成活率＝成活棵數(shù)247。種植總棵數(shù)100%出粉率＝面粉重量247。小麥重量100%出油率＝油的重量247。油料重量100%廢品率＝廢品數(shù)量247。全部產(chǎn)品數(shù)量100%命中率＝命中次數(shù)247?？偞螖?shù)100%烘干率＝烘干后重量247。烘前重量100%及格率＝及格人數(shù)247。參加考試人數(shù)100%18 雞兔同籠問題【含義】 這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題?！緮?shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2雞兔總數(shù)）247。（4－2）假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（4雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）247。（4－2）第二雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（2雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）247。（4＋2）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）247。（4＋2）【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。例1 長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？解 假設(shè)35只全為兔，則 雞數(shù)＝（435－94）247。（4