【文章內(nèi)容簡介】 。時鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關(guān)系】分針的速度是時針的12倍， 二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1 從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解：鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為 20247。（1－1/12）≈ 22（分）答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解：鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（54）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（54－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（54＋15）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。 （54－15）247。（1－1/12）≈ 6（分） （54＋15）247。（1－1/12）≈ 38（分）答：4點06分及4點38分時兩針成直角。例3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解：六點整的時候，分針在時針后（56）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（56）247。（1－1/12）≈ 33（分）答：6點33分的時候分針與時針重合。14 盈虧問題【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。【數(shù)量關(guān)系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）247。分配差如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）247。分配差參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）247。分配差【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解：按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）247。分配差”的數(shù)量關(guān)系： （1）有小朋友多少人？ （11＋1）247。（4－3）＝12（人） （2）有多少個蘋果？ 312＋11＝47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解：題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）247。分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為 （2608－3004）247。（300－260）＝22（天）這條路全長為 300（22＋4）＝7800（米）答：這條路全長7800米。例3 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解:本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有 （1）有多少車？ （30－0）247。（45－40）＝6（輛） （2）有多少人？ 406＋30＝270（人）答：有6 輛車，有270人。15 工程問題【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量＝工作效率工作時間工作時間＝工作量247。工作效率工作時間＝總工作量247。（甲工作效率＋乙工作效率）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解：題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：1247。（1/10＋1/15）＝1247。1/6＝6（天）答：兩隊合做需要6天完成。例2 一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解：設(shè)總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1247。（1/6＋1/8）］小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？ 24247。［1247。（1/6＋1/8）］＝7（個）（2）這批零件共有多少個？ 7247。（1/6－1/8）＝168（個）答：這批零件共有168個。上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7所以，這批零件共有 24247。1/7＝168（個）例3 一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成?，F(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解：必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為1和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60247。12＝5 60247。10＝6 60247。15＝4因此余下的工作量由乙丙合做還需要 （60－52）247。（6＋4）＝5（小時）答：還需要5小時才能完成。例4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當(dāng)打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解：注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（145），2個進水管15小時注水量為（1215），從而可知每小時的排水量為 （1215－145）247。（15－5）＝1即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 145－15＝15又因為在2小時內(nèi)，每個進水管的注水量為 12，所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進水管？ （15＋12）247。（12） ＝≈9（個）答：至少需要9個進水管。16 正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用?！緮?shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。【解題思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解：由條件知，公路總長不變。 原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份，從而知公路總長為 300247。（4－3）12＝3600（米）答： 這條公路總長3600米。 例2 張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？解：做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系 設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 則有 28∶4＝91∶X 28X＝914 X＝914247。28 X＝13答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。例3 孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？解：書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系。設(shè)X天可以看完，就有 24∶36＝X∶1536X＝2415 X＝10答：10天就可以看完。例4 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。解：由面積247。寬＝長可知，當(dāng)長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，A252036B16A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16解這兩個比例，得 A＝45 B＝20所以，大矩形面積為 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162答：大矩形的面積是162。17 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。 總份數(shù)＝比的前后項之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？解：總份數(shù)為 47＋48＋45＝140 一班植樹 56047/140＝188（棵） 二班植樹 56048/140＝192（棵） 三班植樹 56045/140＝180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？解： 3＋4＋5＝12 603/12＝15（厘米）604/12＝20（厘米） 605/12＝25（厘米）答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解：如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2 9＋6＋2＝17 179/17＝9176/17＝6 172/17＝2 答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？人 數(shù)80人一共多少人？對應(yīng)的份數(shù)12－88＋12＋21解： 80247。（12－8）（8＋12＋21）＝820（人）答：三個車間一共820人。18 百分?jǐn)?shù)問題【含義】百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ帧⒓s分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分?jǐn)?shù)＝比較量247。標(biāo)準(zhǔn)量16