高等學(xué)校全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(編輯修改稿)
2025-05-01 05:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 3．圓與直線沒有公共點(diǎn)的充要條件是（ ）A． B． C． D．4．已知，，則（ ）A． B． C． D．5．已知四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，且，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A． B． C． D．6．設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（ ）A． B． C． D．7．4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（ ）A． B． C． D．8．將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象，則（ ）A． B． C． D．9．已知變量滿足約束條件則的最大值為（ ）A． B． C． D．10．一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（ ）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種11．已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則（ ）A．1 B．2 C．3 D．412．在正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線，都相交的直線（ ）A．不存在 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有無數(shù)條第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．13．函數(shù)的反函數(shù)是 ．14．在體積為的球的表面上有A、B，C三點(diǎn)，AB=1，BC=，A，C兩點(diǎn)的球面距離為，則球心到平面ABC的距離為_________．15．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ．16．設(shè)，則函數(shù)的最小值為 ．三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．18．（本小題滿分12分）某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近100周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：周銷售量234頻數(shù)205030（Ⅰ）根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨(dú)立，求（?。?周中該種商品至少有一周的銷售量為4噸的概率；（ⅱ）該種商品4周的銷售量總和至少為15噸的概率．19．（本小題滿分12分）ABCDEFPQHG如圖，在棱長為1的正方體中，AP=BQ=b（0b1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個(gè)值；（Ⅲ）若，求與平面PQEF所成角的正弦值．20．（本小題滿分12分）在數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)．（Ⅰ）數(shù)列是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，．若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？22．（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)在，處取得極值，且．（Ⅰ）若，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，求的取值范圍．2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)（供文科考生使用）試題參考答案和評分參考一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算．每小題5分，共60分．1．D 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A7．C 8．A 9．B 10．B 11．D 12．D二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算．每小題4分，滿分16分．13． 14． 15． 16．三、解答題17．本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查綜合計(jì)算能力．滿分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理得，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得． 4分聯(lián)立方程組解得，． 6分（Ⅱ）由正弦定理，已知條件化為， 8分聯(lián)立方程組解得，．所以的面積． 12分18．本小題主要考查頻率、概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力．滿分12分．解：（Ⅰ）周銷售量為2噸，． 4分（Ⅱ）由題意知一周的銷售量為2噸，，故所求的概率為 （?。?8分 （ⅱ）． 12分19．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系和面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力與邏輯思維能力．滿分12分．解法一：（Ⅰ）證明：在正方體中，，又由已知可得，，所以，所以平面．所以平面和平面互相垂直． 4分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是，是定值． 8分（Ⅲ）解：設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié)，ABCDEFPQHGN因?yàn)槠矫妫詾榕c平面所成的角．因?yàn)?，所以分別為，，的中點(diǎn)．可知，．所以． 12分解法二：以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D－xyz．由已知得，故ABCDEFPQHyxzG，，，，，．（Ⅰ）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得，．因?yàn)?，所以是平面PQEF的法向量．因?yàn)椋允瞧矫鍼QGH的法向量．因?yàn)?，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分（Ⅱ）證明：因?yàn)?，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．在所建立的坐標(biāo)系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值． 8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．由為中點(diǎn)可知，分別為，的中點(diǎn)．所以，因此與平面所成角的正弦值等于． 12分20．本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，對數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．滿分12分．解：（Ⅰ
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