數(shù)學歸納法典型例題(編輯修改稿)
2025-05-01 04:28 本頁面
【文章內容簡介】 命題成立時，利用歸納假設，并對照目標式進行了恰當?shù)目s小來實現(xiàn)，也可以用上歸納假設后，證明不等式成立。（2）應用數(shù)學歸納法證明與非零自然數(shù)有關的命題時要注意兩個步驟缺一不可，第①步成立是推理的基礎，第②步是推理的依據(jù)（即成立，則成立，成立，……，從而斷定命題對所有的自然數(shù)均成立）。另一方面，第①步中，驗證中的未必是1，根據(jù)題目要求，有時可為2，3等；第②步中，證明時命題也成立的過程中，要作適當?shù)淖冃?，設法用上歸納假設。 例4. 若不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結論。解析：取。令，得，而，所以取，下面用數(shù)學歸納法證明，（1）時，已證結論正確（2）假設時，則當時，有，因為，所以，所以，即時，結論也成立，由（1）（2）可知，對一切，都有，故a的最大值為25。 例5. 用數(shù)學歸納法證明：能被9整除。解析：方法一：令，（1）能被9整除。（2）假設能被9整除，則∴能被9整除。由（1）（2）知，對一切，命題均成立。方法二：（1），原式能被9整除，（2）若，能被9整除，則時∴時也能被9整除。由（1），（2）可知，對任何，能被9整除。點評：證明整除性問題的關鍵是“湊項”，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段湊出時的情形，從而利用歸納假設使問題獲證。 例6. 求證：能被整除。解析：（1）當時，命題顯然成立。（2）設時，能被整除，則當時。由歸納假設，上式中的兩項均能被整除，故時命題成立。由（1）（2）可知，對，命題成立。 例7. 平面內有n個圓，其中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于一點，求證：這n個圓將平面分成個部分。解析：①時，1個圓將平面分成2部分，顯然命題成立。②假設時，個圓將平面分成個部分，當時，第k+1個圓交前面k個圓于2k個點，這2k個點將圓分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個區(qū)域，所以這k+1個圓將平面分成個部分，即個
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