數(shù)學(xué)歸納法典型例題(編輯修改稿)
2025-05-01 04:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 命題成立時(shí)，利用歸納假設(shè)，并對照目標(biāo)式進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)目s小來實(shí)現(xiàn)，也可以用上歸納假設(shè)后，證明不等式成立。（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)要注意兩個(gè)步驟缺一不可，第①步成立是推理的基礎(chǔ)，第②步是推理的依據(jù)（即成立，則成立，成立，……，從而斷定命題對所有的自然數(shù)均成立）。另一方面，第①步中，驗(yàn)證中的未必是1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2，3等；第②步中，證明時(shí)命題也成立的過程中，要作適當(dāng)?shù)淖冃?，設(shè)法用上歸納假設(shè)。 例4. 若不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論。解析：取。令，得，而，所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，（1）時(shí)，已證結(jié)論正確（2）假設(shè)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?，所以，所以，即時(shí)，結(jié)論也成立，由（1）（2）可知，對一切，都有，故a的最大值為25。 例5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。解析：方法一：令，（1）能被9整除。（2）假設(shè)能被9整除，則∴能被9整除。由（1）（2）知，對一切，命題均成立。方法二：（1），原式能被9整除，（2）若，能被9整除，則時(shí)∴時(shí)也能被9整除。由（1），（2）可知，對任何，能被9整除。點(diǎn)評：證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段湊出時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證。 例6. 求證：能被整除。解析：（1）當(dāng)時(shí)，命題顯然成立。（2）設(shè)時(shí)，能被整除，則當(dāng)時(shí)。由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被整除，故時(shí)命題成立。由（1）（2）可知，對，命題成立。 例7. 平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成個(gè)部分。解析：①時(shí)，1個(gè)圓將平面分成2部分，顯然命題成立。②假設(shè)時(shí)，個(gè)圓將平面分成個(gè)部分，當(dāng)時(shí)，第k+1個(gè)圓交前面k個(gè)圓于2k個(gè)點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個(gè)區(qū)域，所以這k+1個(gè)圓將平面分成個(gè)部分，即個(gè)
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