【文章內(nèi)容簡介】 標(biāo)原點(diǎn)與重合時(shí)。在慣性系中一質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，軌道方程為 ， 試證：在慣性系中的觀測者觀測到該質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)，橢圓的中心以速度運(yùn)動(dòng)。 提示：在慣性系中的觀測者觀測到該質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為 。證明：根據(jù)洛侖茲坐標(biāo)變換關(guān)系 代入原方程中，得到 化簡得 所以，在K系中質(zhì)點(diǎn)做橢圓運(yùn)動(dòng)，橢圓中心以速度運(yùn)動(dòng)。 一觀測者測得運(yùn)動(dòng)著的米尺長，問此米尺以多大的速度接近觀測者？解：由相對論長度縮短關(guān)系 得到 ，在系的平面內(nèi)放置一固有長度為的細(xì)桿，該細(xì)桿與軸的夾角為。設(shè)系相對于系沿軸正向以速率運(yùn)動(dòng)，試求在系中測得的細(xì)桿的長度和細(xì)桿與軸的夾角。 ，解：細(xì)桿在系中的兩個(gè)坐標(biāo)上的投影分別為 細(xì)桿在系中的兩個(gè)坐標(biāo)上的投影分別為 在系中細(xì)桿的長度為與X軸正向夾角為 一飛船以的速率相對于地面[假設(shè)地面慣性系]勻速飛行。若飛船上的鐘走了的時(shí)間，用地面上的鐘測量是經(jīng)過了多少時(shí)間？解：根據(jù)相對論中時(shí)間延長關(guān)系 代入數(shù)據(jù)，可得 已知介子束的速度為[為真空中的光速]，其固有平均壽命為，在實(shí)驗(yàn)室中看來，介子在一個(gè)平均壽命期內(nèi)飛過多大距離？解：根據(jù)相對論中時(shí)間延長關(guān)系 代入數(shù)據(jù)，可得 因此 慣性系相對另一慣性系沿軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)，在慣性系中觀測到兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生軸上，且其間距是，在系觀測到這兩個(gè)事件的空間間距是，求系中測得的這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔。解：由相對論的同時(shí)性的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系 (1) (2)聯(lián)立兩式得到 代入(2)式中得到 ：在某個(gè)慣性系中有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生在不同的地點(diǎn)，在有相對運(yùn)動(dòng)的其他慣性系中，這兩個(gè)事件一定不同時(shí)發(fā)生。 證明：令在某個(gè)慣性系中兩事件滿足 ， 則在有相對運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)慣性系中(相對運(yùn)動(dòng)速度為),兩事件的時(shí)間間隔是由于 ， 且所以 ，即兩事件一定不同時(shí)發(fā)生。 試證明：(1)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同一地點(diǎn)發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩 個(gè)事件的時(shí)間間隔，只有在此慣性系中最短；(2)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同時(shí)發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個(gè)事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短。證明(1) 設(shè)兩事件在某慣性系中于同一地點(diǎn)發(fā)生，即，時(shí)間間隔為，則在另一個(gè)相對運(yùn)動(dòng)速度為的慣性系中，兩事件的時(shí)間間隔為所以，在原慣性系中時(shí)間間隔最短。證明(2) 設(shè)兩事件在某慣性系中于同時(shí)發(fā)生，即，時(shí)間間隔為，則在另一個(gè)相對運(yùn)動(dòng)速度為的慣性系中，兩事件的時(shí)間間隔為所以，在原慣性系中空間間隔最短。 若電子和電子均以[為真空中的光速]的速度相對于實(shí)驗(yàn)室向右和向左飛行，問兩者的相對速度是多少？ [ 答案：] 一光源在系的原點(diǎn)發(fā)出一光線。光線在平面內(nèi)且與軸的夾角為。設(shè)系相對于系沿軸正向以速率運(yùn)動(dòng)。試求在系中的觀測者觀測到此光線與軸的夾角。解：光線的速度在系中兩個(gè)速度坐標(biāo)上的投影分別為 由速度變換關(guān)系 ， 則在系中速度的兩個(gè)投影分別為， 所以，在系中的觀測者觀測到此光線與軸的夾角 如果一觀測者測出電子的質(zhì)量為[為電子的靜止質(zhì)量]，問電子的速度是多大？解：由相對論質(zhì)量關(guān)系 而且 得到 如果將電子由靜止加速到 [為真空中的光速] 的速度，需要對它作多少功？速度從加速到，又要作多少功？解(1) 由相對論動(dòng)能定理：因?yàn)?， 代入得到 (2) 將 ， 代入原式 在什么速度下粒子的動(dòng)量是其非相對論動(dòng)量的兩倍？在什么速度下粒子的動(dòng)能等于它的靜止能量？ 解(1) 由相對論動(dòng)量公式 而且 聯(lián)立兩式 (2) 由相對論動(dòng)能公式 而且 聯(lián)立兩式 靜止質(zhì)量為的電子具有倍于它的靜能的總能量，試求它的動(dòng)量和速率。[提示：電子的靜能為]解：由總能量公式 而且 (1)其中 (2)聯(lián)立(1)、(2)兩式 將(1)式代入動(dòng)量公式 一個(gè)質(zhì)量為的靜止粒子，衰變?yōu)閮蓚€(gè)靜止質(zhì)量為和的粒子，求這兩個(gè)粒子的動(dòng)能。[提示：利用能量守恒和動(dòng)量守恒關(guān)系]解：令兩粒子的動(dòng)能分別為與由相對論能量守恒得到 (1)由相對論動(dòng)量和能量的關(guān)系 得到 由相對論動(dòng)量守恒得到 (2)聯(lián)立(1)、(2)兩式解得，習(xí)題五參考解答 簡答下列問題：（1） 什么是簡諧振動(dòng)？分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩方面作出解釋。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作簡諧振動(dòng)？（2） 在什么情況下，簡諧振動(dòng)的速度和加速度是同號的？在什么情況下是異號的？加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)一定是加快地運(yùn)動(dòng)嗎？反之，加速度為負(fù)值時(shí)，肯定是減慢地運(yùn)動(dòng)嗎？（3） 同一彈簧振子，如果它在水平位置是作簡諧振動(dòng)，那么它在豎直懸掛情況下是否仍作簡諧振動(dòng)？把它裝在光滑斜面上，它是否仍將作簡諧振動(dòng)？（4） 如果某簡諧振動(dòng)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是，那么這一振動(dòng)的周期是多少？（5） 在地球上，我們認(rèn)為單擺(在小角幅下)的運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng)，如果把它拿到月球上，那么，振動(dòng)周期將怎樣改變？（6） 什么是位相？一個(gè)單擺由最左位置開始擺向右方，在最左端位相是多少？經(jīng)過中點(diǎn)、到達(dá)右端、再回中點(diǎn)、返回左端等各處的位相是多少？ （7） 初位相是個(gè)什么物理量？初位相由什么確定？如何求初周相？試分別舉例說明： (a)已知初始狀態(tài)，如何確定初位相；(b)已知初位相，如何確定初始狀態(tài)。 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)cm。某時(shí)刻它在cm處，且向X軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，它要重新回到該位置至少需要經(jīng)歷的時(shí)間為(A) 。 (B) 。 (C) 。 (D) 。答案：(B) Y X 如圖： 位相差 以頻率作簡諧振動(dòng)的系統(tǒng)，其動(dòng)能和勢能隨時(shí)間變化的頻率為(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。答案：(C) 勁度系數(shù)為的輕彈簧和質(zhì)量為10g的小球組成的彈簧振子，第一次將小球拉離平衡位置4cm，由靜止釋放任其運(yùn)動(dòng)；第二次將小球拉離平衡位置2cm并給以2cm/s的初速度任其振動(dòng)。這兩次振動(dòng)能量之比為(A) 1:1。 (B) 4:1。 (C) 2:1。 (D) 。答案：(C) ， ，振子質(zhì)量為200g，振子經(jīng)平衡位置時(shí)速度為12cm/s，(A) ； (B) 0。 (C) 。 (D) 。答案：(D)， ， 一彈簧振子系統(tǒng)豎直掛在電梯內(nèi)，當(dāng)電梯靜止時(shí)，振子諧振頻率為?，F(xiàn)使電梯以加速度向上作勻加速運(yùn)動(dòng)，則其諧振頻率將(A) 不變； (B) 變大； (C) 變??； (D) 變大變小都有可能答案：(A) ， X 將一物體放在一個(gè)沿水平方向作周期為1s的簡諧振動(dòng)的平板上。要使物體在平板上不致滑動(dòng)，平板振動(dòng)的振幅最大只能為(A) 要由物體質(zhì)量決定； (B) 。 (C) 。 (D) 答案：(C) 最大靜摩擦力為，最大加速度為 由得 兩分振動(dòng)方程分別為和，則它們合振動(dòng)的表達(dá)式為(A) 。(B) 。(C) 。(D) 。 答案：(C) 質(zhì)量為的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作簡諧振動(dòng)，式中以秒為單位，以米為單位。試求：(1) 振動(dòng)的圓頻率、周期、振幅、初位相以及速度和加速度的最大值；(2) 求時(shí)刻的位相。(3) 利用Mathematica繪出位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系曲線。解(1)： , , , (2) 勁度系數(shù)為和的兩根彈簧。 證明：(1)當(dāng)物體向右移動(dòng)時(shí)，左端彈簧伸長，而右端彈簧縮短，它們對物體作用力方向相同，均與物體位移方向相反，所以 因此物體將作簡諧振動(dòng)。(2) 設(shè)兩彈簧分別伸長與，則彈簧對物體的作用力 對兩彈簧的連接點(diǎn)有: 且 解此兩式： 代入中： 因此物體將作簡諧振動(dòng)。 ，質(zhì)量為的物體放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角，彈簧的勁度系數(shù)為，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為。先把物體托住，使彈簧維持原長，然后由靜止釋放，試證明物體作簡諧振動(dòng)。 證明：取未用手托系統(tǒng)靜止時(shí)的位置為平衡位置，令此點(diǎn)位坐標(biāo)原點(diǎn)，彈簧伸長，則有： (1)當(dāng)物體沿斜面向下位移為時(shí)，則有： (2) (3) (4) (5)將(2)與(4)代入(3),并利用(5),可得利用(1)式，得到 所以，物體作的是簡諧振動(dòng)。 一個(gè)沿軸作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為，周期為，其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表出。如果時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：(1) ；(1) 過平衡位置向軸正向運(yùn)動(dòng)；(3) 過處向軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)；(4) 過處向軸正向運(yùn)動(dòng)。試用旋轉(zhuǎn)矢量圖方法確定相應(yīng)的初位相，并寫出振動(dòng)方程。 Y (3) (1) X (4) (2) 解：令振動(dòng)方程為：(1