二元一次方程組應(yīng)用題經(jīng)典題(編輯修改稿)
2025-04-22 23:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格： 解：設(shè)存一年教育儲(chǔ)蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程： ，解得： 答：存教育儲(chǔ)蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元. 總結(jié)升華: 我們?cè)诮庖恍┥婕暗叫谐獭⑹杖?、支出、增長率等的實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)候不容易找出其等量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來. 【變式1】李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，%，問這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額20%） 【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，%；第二種，三年期整存整取，%.(不計(jì)利息稅)，問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？ 類型六：列二元一次方程組解決——增長率問題 6. 某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值—總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？ 思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則有 總產(chǎn)值（萬元）總支出（萬元）利潤（萬元）去年xy200今年120%x90%y780 根據(jù)題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產(chǎn)值—總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個(gè)等式。 解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)題意得： ，解之得： 答：去年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元 總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時(shí)，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析?！ 咀兪?】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？ 【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，%，%，這樣全市人口增加1%，求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口?！☆愋推撸毫卸淮畏匠探M解決——和差倍分問題 7.（2011年北京豐臺(tái)區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷．為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”、恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)．求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？ 思路點(diǎn)撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個(gè)，所以列兩個(gè)方程，根據(jù)計(jì)劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個(gè)等式，即是兩個(gè)方程組成的方程組。 解：設(shè)原計(jì)劃“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得： ， 解得： 所以：==8, ==6 答：“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂. 【變式1】 (2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題) “地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在2007年提出的一項(xiàng)倡議．號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個(gè)星期六20時(shí)30分—21時(shí)30分熄燈一小時(shí)，旨在通過一個(gè)人人可為的活動(dòng)，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活．中國內(nèi)地去年和今年共有119個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的3倍少13個(gè)，問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)． 【變式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？ 類型八：列二元一次方程組解決——數(shù)字問題 一、數(shù)字問題例1 一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)．分析：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個(gè)位上的數(shù)為y，則這個(gè)兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示：解方程組，得，因此，所求的兩位數(shù)是14．點(diǎn)評(píng)：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學(xué)習(xí)慣于只設(shè)一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對(duì)有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為x，或只設(shè)十位上的數(shù)為x，那將很難或根本就想象不出關(guān)于x的方程．一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求數(shù)問題，一般應(yīng)設(shè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)為“元”，然后列多元方程組解之．十位上的數(shù)個(gè)位上的數(shù)對(duì)應(yīng)的兩位數(shù)相等關(guān)系原兩位數(shù)xy10x+y10x+y=x+y+9新兩位數(shù)yｘ10y+x10y+x=10x+y+278. 兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù)。 思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。 問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100x＋y 問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為： 100y＋x 解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。依題意可得： ，解得： 答：這兩個(gè)兩位數(shù)分別為45，23. 【變式1】一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個(gè)兩位數(shù)是多少？ 【變式2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)？ 【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個(gè)位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)?！☆愋途牛毫卸淮畏匠探M解決——濃度問題 9．現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3∶7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4∶1，今要得到酒精與水的比為3∶2的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？ 思路點(diǎn)撥：本題欲求兩個(gè)未知量，可直接設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個(gè)相等關(guān)系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和＝50；（2）混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和＝混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和＝混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比＝混合后溶液所含純酒精與水的比?！ 〗猓悍ㄒ唬涸O(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取x kg , y ： ， 答：甲取20kg，乙取30kg 法二：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取10x kg和5y kg， 則甲種酒精溶液含水7x kg，乙種酒精溶液含水y kg，根據(jù)題意得： ， 所以 10x=20,5y=30. 答：甲取20kg，乙取30kg 總結(jié)升華：此題的第（1）個(gè)相等關(guān)系比較明顯，關(guān)鍵是正確找到另外一個(gè)相等關(guān)系，解這類問題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等。用它們來聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時(shí)就顯得容易多了。列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問什么就設(shè)什么。有時(shí)候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時(shí)候需要設(shè)輔助未知數(shù)?！ ∨e一反三： 【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少
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