重力勢能和機械能守恒定律的典型例題(編輯修改稿)
2025-04-22 04:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 速度必大于滑到B′點的速度，即vB＞vB′．因此，兩球在AB與AB′段、BC與B′D段上的平均速度的大小必然是由于對應(yīng)的斜面長度AB=AB′，BC=B′D．所以通過它們的時間長短必然是tAB＜tAB′，tBC＜tB′D．也就是說，沿ABC斜面的小球先滑到底部．【答】A．【說明】本題還可以畫出vt圖作出更簡捷的判斷．如圖3所示，為沿ABC和AD下滑小球a、b的vt圖．由于AB+BC=AD，則圖線下方與t軸間的面積應(yīng)相等，也就是圖中劃有斜線的兩部分面積相等，顯然，兩球運動時間必然是ta＜tb．圖3【例11】如圖1，一個質(zhì)量為m的小球拴在全長L的細線上做成一個單擺，把小球從平衡位置O拉至A，使細線與豎直方向成θ角，然后輕輕釋放．若在懸點O′的正下方有一顆釘子P，試討論，釘子在何處時，（1）可使小球繞釘來回擺動；（2）可使小球繞釘做圓周運動．【分析】小球擺動過程中，只有小球的重力做功．當不考慮細線碰釘時的能量損失時，無論小球繞釘來回擺動，或繞釘做圓周運動，小球的機械能都守恒．【解】（1）小球繞釘來回擺動時，只能擺到跟開始位置A等高的地方，因此，釘子P的位置范圍只能在過A點的水平線與豎直線OO′的交點上方（圖2），即釘子離懸點O′的距離h應(yīng)滿足條件0≤h≤Lcosθ．（2）設(shè)釘子在位置P′時剛好使小球能繞釘做圓周運動，圓半徑R=P′O，設(shè)小球在最高點C的速度為vc，并規(guī)定最低處O為重力勢能的零位置（圖3），由A、C兩位置時的機械能守恒EA=EC，即又因為剛好能越過C點做圓運動，此時繩中的張力為零，由重力提供向心力，即所以釘子P′離懸點O′的距離如果釘子位置從P′處繼續(xù)下移，則小球?qū)⒁愿蟮乃俣仍竭^圓周的最高點，此時可由繩子的張力補充在最高點時所需的向心力，仍能繞釘子做圓周運動．所以，能繞釘做圓運動時釘子離懸點的距離h′應(yīng)滿足條件【說明】由本題的解答可知，位置P是小球能繞釘來回擺動的最紙位置；位置P′是小球能繞釘做圓周運動的最高位置．如釘子在PP′之間，則懸線碰釘后，先繞釘做圓運動，然后將在某一位置上轉(zhuǎn)化為斜拋運動．【例12】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細管的半徑大得多）．在圓管中有兩個直徑比細管內(nèi)徑略小的小球（可視為質(zhì)點）．A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2．它們沿環(huán)形圓管順時針運動，經(jīng)過最低點時的速度都為v0設(shè)A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1，m2，R與v0應(yīng)滿足的關(guān)系式是______．【分析】A球運動到最低點時，由外壁對它產(chǎn)生的彈力NA和A球重力m1g的合力作為向心力，即A球?qū)ν獗诋a(chǎn)生的壓力NA′大小等于NA，方向沿半徑背離圓心（圖1）．要求對圓管的合力為零，B球在最高點時也必須對外壁（不可能是內(nèi)壁）產(chǎn)生一個等量的壓力NB′．因此，B球在最高點有向外壁擠壓的作用，由外壁對它產(chǎn)生的彈力NB和球重m2g的合力作為向心力（圖2）．設(shè)B球在最高點的速度為vB，據(jù)向心力公式和機械能守恒有根據(jù)題意 NA′=NB′，即要求【例13】如圖所示，半徑為r，質(zhì)量不計的圓盤盤面與地面相垂直，圓心處有一個垂直盤面的光滑水平固定軸O，在盤的最右邊緣固定有一個質(zhì)量為m的小球A，在O點的正下方離O點r／2處固定一個質(zhì)量也為m的小球B．放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動，問：（1）當A球轉(zhuǎn)到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了多少？（2）A球轉(zhuǎn)到最低點時的線速度是多少？（3）在轉(zhuǎn)動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？【分析】兩小球勢能之和的減少，可選取任意參考平面（零勢能位置）進行計算．由于圓盤轉(zhuǎn)動過程中，只有兩個小球重力做功，根據(jù)機械能守恒即可列式算出A球的線速度和半徑OA最大偏角．【解】（1）以通過O的水平面為零勢能位置，開始時和A球轉(zhuǎn)到最低點時兩球重力勢能之和分別為∴ 兩球重力勢能之和減少（2）由于圓盤轉(zhuǎn)動過程中，只有兩球重力做功、機械能守恒，因此，兩球重力勢能之和的減少一定等于兩球動能的增加．設(shè)A球轉(zhuǎn)到最低點時，A、B兩球的速度分別為vA、vB，則因A、B兩球固定在同一個圓盤上，轉(zhuǎn)動過程中的角速度（設(shè)為ω）相同．由得 vA=2vB．代入公式，得
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