重力勢(shì)能和機(jī)械能守恒定律的典型例題-在線瀏覽
2025-05-13 04:44本頁(yè)面
【正文】 ．【例12】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多）．在圓管中有兩個(gè)直徑比細(xì)管內(nèi)徑略小的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）．A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2．它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度都為v0設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么m1，m2，R與v0應(yīng)滿足的關(guān)系式是______．【分析】A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，由外壁對(duì)它產(chǎn)生的彈力NA和A球重力m1g的合力作為向心力，即A球?qū)ν獗诋a(chǎn)生的壓力NA′大小等于NA，方向沿半徑背離圓心（圖1）．要求對(duì)圓管的合力為零，B球在最高點(diǎn)時(shí)也必須對(duì)外壁（不可能是內(nèi)壁）產(chǎn)生一個(gè)等量的壓力NB′．因此，B球在最高點(diǎn)有向外壁擠壓的作用，由外壁對(duì)它產(chǎn)生的彈力NB和球重m2g的合力作為向心力（圖2）．設(shè)B球在最高點(diǎn)的速度為vB，據(jù)向心力公式和機(jī)械能守恒有根據(jù)題意 NA′=NB′，即要求【例13】如圖所示，半徑為r，質(zhì)量不計(jì)的圓盤盤面與地面相垂直，圓心處有一個(gè)垂直盤面的光滑水平固定軸O，在盤的最右邊緣固定有一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，在O點(diǎn)的正下方離O點(diǎn)r／2處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B．放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)：（1）當(dāng)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球的重力勢(shì)能之和減少了多少？（2）A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度是多少？（3）在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？【分析】?jī)尚∏騽?shì)能之和的減少，可選取任意參考平面（零勢(shì)能位置）進(jìn)行計(jì)算．由于圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只有兩個(gè)小球重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒即可列式算出A球的線速度和半徑OA最大偏角．【解】（1）以通過(guò)O的水平面為零勢(shì)能位置，開始時(shí)和A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)兩球重力勢(shì)能之和分別為∴ 兩球重力勢(shì)能之和減少（2）由于圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只有兩球重力做功、機(jī)械能守恒，因此，兩球重力勢(shì)能之和的減少一定等于兩球動(dòng)能的增加．設(shè)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，A、B兩球的速度分別為vA、vB，則因A、B兩球固定在同一個(gè)圓盤上，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的角速度（設(shè)為ω）相同．由得 vA=2vB．代入公式，得（3）設(shè)半徑OA向左偏離豎直線的最大角度為θ如圖，該位置的機(jī)械能和開始時(shí)機(jī)械能分別為由機(jī)械能守恒定律E1=E3，即即 2cosθ=1+sinθ．兩邊平方得4（1－sin2θ）=1+sin2θ+2sinθ，5sin2θ+2sinθ－3=0，【例14】一個(gè)質(zhì)量為m的木塊，從半徑為R、質(zhì)量為M的1/4光滑圓槽頂端由靜止滑下，在槽被固定和可沿著光滑平面自由滑動(dòng)兩情況下，如圖，木塊從槽口滑出時(shí)的速度大小之比為 [ ]【分析】槽固定時(shí)，木塊下滑過(guò)程中只能有重力做功，木塊的機(jī)械能守恒，木塊在最高處的勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為滑出槽口時(shí)的動(dòng)能．由得木塊滑出槽口的速度槽可動(dòng)時(shí)，當(dāng)木塊開始下滑到脫離槽口的過(guò)程中，對(duì)木塊和槽所組成的系統(tǒng)，水平方向不受外力，水平方向的動(dòng)量守恒．設(shè)木塊滑出槽口時(shí)的速度為v2，槽的速度為u，則mv2+Mu=0又木塊下滑時(shí)只有重力做功，機(jī)械能守恒，木塊在最高處的勢(shì)能轉(zhuǎn)化為木塊滑出槽口時(shí)的動(dòng)能和圓槽的動(dòng)能，即 聯(lián)立兩式得木塊滑出槽口的速度因此，兩情況下滑出槽口的速度之比【答】D．【例15】如圖，長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑平臺(tái)固定在地面上，平臺(tái)中央有兩小物體A和B，彼此接觸靠在一起，A的上表面有一半徑為R（RL）、頂端距臺(tái)面高h(yuǎn)的圓槽，槽頂有一小物體C，A、B、C三者質(zhì)量均為m，現(xiàn)使物體C由靜止沿圓槽下滑，且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中它始終與圓槽接觸，求1．A和B剛分離時(shí)，B的速度；2．A和B分離后，C能達(dá)到距平臺(tái)的最大高度．【分析】物體C下滑時(shí)，C對(duì)A作用力的水平分力向右，推動(dòng)A、B一起向右加速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)C滑至圓槽底部時(shí)，C對(duì)A作用力的水平分力為零，A、B兩者向右的加速過(guò)程結(jié)束，速度達(dá)到最大．以后，C將沿圓槽上滑，C對(duì)A作用力的水平分力向左，A將開始做減速運(yùn)動(dòng)，而B則沿平臺(tái)勻速向右．因此，C滑至圓槽底部的時(shí)刻就是A、B即將分離的時(shí)刻．把A、B、C三個(gè)物體組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，C下滑過(guò)程中，系統(tǒng)在水平方向不受外力，動(dòng)量守恒．同時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)無(wú)重力和彈力以外的力作功，機(jī)械能守恒．聯(lián)合應(yīng)用這兩條守恒定律，即可得解．【解】規(guī)定以水平向右
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