立體幾何證明題專題教師版資料(編輯修改稿)
2025-04-21 06:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∥AC，而E是AD的中點．∴N必是CD的中點，∴CN＝DN.，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E為AC上一點，若AB1∥平面C1EB，求：AE∶EC.【解析】 連接B1C交BC1于點F，則F為B1C中點．∵AB1∥平面C1EB，AB1?平面AB1C，且平面C1EB∩平面AB1C＝EF.∴AB1∥EF，∴E為AC中點．∴AE∶EC＝1∶1.【答案】 1∶1考點5：面面平行的判定及性質(zhì)，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線；l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個充分而不必要條件是( )A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2答案 B解析 因m?α，l1?β，若α∥β，則有m∥β且l1∥α，故α∥β的一個必要條件是m∥β且l1∥α，n?α，l1，l2?β且l1與l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1與l2相交，故m與n也相交，∴α∥β；若α∥β，則直線m與直線l1可能為異面直線，故α∥β的一個充分而不必要條件是m∥l1且n∥l2，應(yīng)選B.—A1B1C1D1中，點P，Q，R分別是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，給出下列結(jié)論：①PR與BQ是異面直線；②RQ⊥平面BCC1B1；③平面PQR∥平面D1AC；④過P，Q，R的平面截該正方體所得截面是邊長為的等邊三角形．以上結(jié)論正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號)答案?、邰芙馕觥∮捎赑R是△A1BC1的中位線，所以PR∥BQ，故①不正確；由于RQ∥A1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1，所以②不正確；由于PR∥BC1∥D1A，PQ∥A1B∥D1C，所以③正確；由于△A1BC1是邊長為的正三角形，所以④正確．故填③④.△ABC所在平面外一點，GGG3分別是△PAB、△PCB、△PAC的重心．1求證：平面G1G2G3∥平面ABC；2求S△G1G2G3∶S△ABC.【解析】 (1)如圖，連接PGPGPG3并延長分別與邊AB、BC、AC交于點D、E、F.連接DE、EF、FD.則有PG1∶PD＝2∶3，PG2∶PE＝2∶3.∴G1G2∥，∴G1G2∥∥平面ABC.又因為G1G2∩G2G3＝G2，∴平面G1G2G3∥平面ABC.(2)由(1)知＝＝，∴G1G2＝DE.又DE＝AC，∴G1G2＝AC.同理G2G3＝AB，G1G3＝BC.∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比為1∶3.∴S△G1G2G3∶S△ABC＝1∶9.、m、n和平面α、β、γ的三個命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題為________．答案?、劢馕觥、僦挟?dāng)α與β不平行時，也能存在符合題意的l、m.②中l(wèi)與m也可能異面．③中?l∥m，同理l∥n，則m∥n，正確．，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點．求證：平面AMN∥平面EFDB.【證明】 連接MF，∵M、F是A1BC1D1的中點，四邊形A1B1C1D1為正方形，∴MF AD，∴MF AD.∴四邊形AMFD是平行四邊形．∴AM∥DF.∵DF?平面EFDB，AM?平面EFDB，∴AM∥平面EFDB，同理AN∥平面EFDB.又AM、AN?平面ANM，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1C，B1C1，C1D1的中點，求證：平面MNP∥平面A1BD.證明 方法一 如圖(1)所示，連接B1D1.∵P，N分別是D1C1，B1C1的中點，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN?平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理：MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.方法二 如圖(2)所示，連接AC1，AC，∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，∴AC⊥BD.又CC1⊥平面ABCD，∴AC為AC1在平面ABCD上的射影，∴AC1⊥BD.同理可證AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可證AC1⊥平面PMN.∴平面PMN∥平面A1BD.，平面α∥平面β，點A∈α，C∈α，點B∈β，D∈β，點E、F分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求證：EF∥β.【證明】?、佼?dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥?β，BD?β，∴EF∥β.②當(dāng)AB與CD異面時，設(shè)平面ACD∩β＝DH，且DH＝AC，∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH.∴四邊形ACDH是平行四邊形． 在AH上取一點G，使AG∶GH＝CF∶FD，又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH.又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面β.∵EF?平面EFG，∴EF∥，EF∥β.：如圖，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，點D、D1分別為AC、A1C1上的點．(1)當(dāng)?shù)闹档扔诤沃禃r，BC1∥平面AB1D1；(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．【解析】 (1)如圖，取D1為線段A1C1的中點，此時＝1，連接A1B交AB1于點O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點O為A1B的中點．在△A1BC1中，點O、D1分別為A1B、A1C1的中點，∴OD1∥BC1.又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴＝1時，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.∴＝，＝.又∵＝1，∴＝1，即＝1.考點6：線線、線面垂直、β是兩個不同
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