【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，（8分）∴S四邊形PQED=S△QEO+S四邊形POED=S△PBO+S四邊形POED=S△BED=BEED=86=24．（10分）點(diǎn)評(píng)：考查菱形的判定及相關(guān)性質(zhì)；把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的規(guī)則圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵．　14．（2011?清遠(yuǎn)）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．（1）求證：AB=DF；（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．718351 專題：幾何綜合題．分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再結(jié)合一對(duì)直角相等即可證明△ABE≌△DFA；然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明AB=DF；（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的長(zhǎng)；再根據(jù)勾股定理求得DE的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)定義求解．解答：（1）證明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90176。，∴∠DAF=∠AEB．∵DF⊥AE，AE=BC，∴∠AFD=90176。，AE=AD．∴△ABE≌△DFA；∴AB=DF；（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．∴AB=DF=6．在Rt△ADF中，AF=，∴EF=AE﹣AF=AD﹣AF=2．∴tan∠EDF==．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義．熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)和判定，能夠找到證明全等三角形的有關(guān)條件；運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)求得三角形中的邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解．　15．（2010?大慶）已知：如圖①，正方形ABCD與矩形DEFG的邊AD、DE在同一直線l上，點(diǎn)G在CD上．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，矩形DEFG的長(zhǎng)DE為b，寬DG為3（其中a＞b＞3）．若矩形DEFG沿直線l向左以每秒1個(gè)單位的長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D、E始終在直線l上）．若矩形DEFG在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與正方形ABCD的重疊部分的面積記作S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t秒（0≤t≤m），其中S與t的函數(shù)圖象如圖②所示．矩形DEFG的頂點(diǎn)經(jīng)運(yùn)動(dòng)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記作D′、E′、F′、G′．（1）根據(jù)題目所提供的信息，可求得b=　4　，a=　5　，m=　9?。唬?）連接AG′、CF′，設(shè)以AG′和CF′為邊的兩個(gè)正方形的面積之和為y，求當(dāng)0≤t≤5時(shí)，y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值以及y取最小值時(shí)t的值；（3）如圖③，這是在矩形DEFG運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線AG′第一次與直線CF′垂直的情形，求此時(shí)t的值．并探究：在矩形DEFG繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線AG′與直線CF′是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，請(qǐng)畫出圖形，并求出t的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)．718351 專題：代數(shù)幾何綜合題．分析：（1）由圖②的函數(shù)圖象知：從第4﹣5秒，S的值恒為12，即此時(shí)矩形全部落在正方形的內(nèi)部，由此可求得兩個(gè)條件：①矩形的面積為12，②正方形的邊長(zhǎng)為1+DE，根據(jù)這兩個(gè)條件求解即可．（2）當(dāng)0≤t≤5時(shí)，矩形在直線AB的左側(cè)，可用t表示出AD′、PF′的長(zhǎng)，易求得D′G、CP的長(zhǎng)，即可用勾股定理求得AG′CF′2的值，即可得到y(tǒng)、t的函數(shù)關(guān)系式．（3）此題要分五種情況討論：①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，點(diǎn)E′在D點(diǎn)右側(cè)；由于∠HG′F′、∠HF′G′都是銳角，顯然直線AG′與CF′不可能平行；當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，△G′HF′是直角三角形，易證得△AD′G′∽△CPF′，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可求得t的值；②當(dāng)t=4時(shí)，D、E′重合，此時(shí)直線DC與E′F′重合，顯然此時(shí)AG′與CF′既不平行也不垂直，因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行或垂直；③當(dāng)4＜t＜5時(shí)，矩形在正方形的內(nèi)部，延長(zhǎng)G′F′交BC于P，延長(zhǎng)AG′交CD于Q，此時(shí)∠CF′P是銳角，所以∠CF′G是鈍角，顯然AG′與CF′不可能垂直；當(dāng)兩直線平行時(shí)，可證得△AD′G′∽△F′PC，進(jìn)而可根據(jù)相似三角形得到的比例線段求得t的值；④當(dāng)t=5時(shí)，此種情況與②相同；⑤當(dāng)5＜t＜9時(shí)，此時(shí)∠QG′F′與∠CF′G′都是鈍角，顯然AG′與CF′不可能平行；當(dāng)兩直線垂直時(shí)，可延長(zhǎng)CF′與AG′相交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)G′F′與CD相交于點(diǎn)P，通過(guò)證△AD′G′∽△CPF′來(lái)求得此時(shí)t的值．解答：解：（1）由圖②知：從第4到第5秒時(shí)，S的值恒為12，此時(shí)矩形全部落在正方形的內(nèi)部，那么矩形的面積為12，即可求得DE=4；這個(gè)過(guò)程持續(xù)了1秒，說(shuō)明正方形的邊長(zhǎng)為：DE+1=5；由于矩形的速度恒定，所以5～m也應(yīng)該用4秒的時(shí)間，故m=5+4=9；即：b=4，a=5，m=9．（2）如圖，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，∵AD′=5﹣t，D′G=3，PF′=4﹣t，CP=2，∴y=9+（5﹣t）2+4+（4﹣t）2，∴y=2（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時(shí)，y有最小值，y最小值=．（3）①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，分別延長(zhǎng)AG′和F′C；如圖，由于∠1和∠2都是銳角，所以∠1+∠2＜180176。，所以AG′與CF′不可能平行．設(shè)AG′與F′C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，當(dāng)∠G′AD′=∠PCF′時(shí)，直線AG′⊥CF′；∴△AD′G′∽△CPF′，∴，∴=，解得t1=2，t2=7（不合題意，舍去）．②當(dāng)t=4時(shí)，由于點(diǎn)F′在CD上，而點(diǎn)G′不在直線AD上，因?yàn)锳D⊥CD，所以AG′不可能也垂直于CD（因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直）．同樣，由于AB∥CD，而點(diǎn)G′不在直線AB上，所以t=4時(shí)，AG′也不可能平行于CD（CF′）（因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行）．③4＜t＜5時(shí)，延長(zhǎng)G′F′交PC于P，延長(zhǎng)AG′交CD于Q，由于∠CF′P是銳角，所以∠CF′G是鈍角，所以∠CF′G+∠QGF′≠90176。，所以AG′與CF′不可能垂直；當(dāng)∠G′AD′=∠CF′P時(shí)，AG′∥CF′，易得△AD′G′∽△F′PC，∴，∴=，解得t=．④當(dāng)t=5時(shí)，AG′與CF′既不可能垂直也不可能平行，理由同②．⑤當(dāng)5＜t＜9時(shí)，因?yàn)椤螿G′F′與∠CF′G′都是鈍角，所以∠QG′F′+∠CF′G′＞180176。，所以AG′與CF′不可能平行．延長(zhǎng)CF′與AG′相交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)G′F′與CD相交于點(diǎn)P；當(dāng)∠MG′F′+∠MF′G′=90176。時(shí)，AG′⊥CF′；又∵∠AG′D′+∠AG′F′=90176。，∠MF′G′=∠CF′P，∴∠AG′D′=∠CF′P，又∠AD′G′=∠F′PC，∴△AD′G′∽△CPF′，∴，即；解得：t1=2（不合題意，舍去），t2=7；所以，綜上所述，當(dāng)t=2或t=7時(shí)，直線AG′與直線CF′垂直，當(dāng)t=，直線AG′與直線CF′平行．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)以及分段函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．　16．（2005?淮安）已知：平行四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，分別沿DE、BF折疊四邊形ABCD，A、C兩點(diǎn)恰好都落在O點(diǎn)處，且四邊形DEBF為菱形（如圖）．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）在四邊形ABCD中，求的值．考點(diǎn)：矩形的判定．718351 專題：計(jì)算題；證明題．分析：（1）根據(jù)矩形的判定定理，先證DE=BE，再證∠DOE=90176。，則可證．（2）根據(jù)已知條件和（1）的結(jié)論，先求得AD：AB，易求解的值．解答：（1）證明：連接OE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DO=OB，∵四邊形DEBF是菱形，∴DE=BE，∴EO⊥BD，∴∠DOE=90176。，即∠DAE=90176。，又四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形．（2）解：∵四邊形DEBF是菱形，∴∠FDB=∠EDB，又由題意知∠EDB=∠EDA，由（1）知四邊形ABCD是矩形，∴∠ADF=90176。，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90176。，則∠ADB=60176。，∴在Rt△ADB中，有AD：AB=1：，又BC=AD，則．說(shuō)明：其他解法酌情給分點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形的判定定理及相關(guān)性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，難度偏難．　17．如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；（2）請(qǐng)直接寫出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形；（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的判定．718351 分析：（1）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理可證明．（2）當(dāng)DP=CP時(shí)，四邊形PMEN是菱形，P是AB的中點(diǎn)，所以可求出AP的值．（3）四邊形PMEN是矩形的話，∠DPC必需為90176。，判斷一下△DPC是不是直角三角形就行．解答：解：（1）∵M(jìn)、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四邊形PMEN是平行四邊形；（2）當(dāng)AP=5時(shí)，∵PA=PB=5，AD=BC，∠A=∠B=90176。，∴△PAD≌△PBC，∴PD=PC，∵M(jìn)、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，∴NE=PMPD，ME=PN=PC，∴PM=ME=EN=PN，∴四邊形PMEN是菱形；（3）假設(shè)△DPC為直角三角形．設(shè)PA=x，PB=10﹣x，DP=，CP=．DP2+CP2=DC216+x2+16+（10﹣x）2=102x2﹣10x+16=0x=2或x=8．故當(dāng)AP=2或AP=8時(shí)，能夠構(gòu)成直角三角形．點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性質(zhì)，知道矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等等性質(zhì)．　18．如圖：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分別在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判斷△BEC的形狀，并說(shuō)明理由？（2）判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形？并證明你的判斷；（3）求四邊形EFPH的面積．考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)．718351 專題：計(jì)算題；證明題．分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出CD=2，根據(jù)勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理求出即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，推出平行四邊形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四邊形EFPH，根據(jù)矩形的判定推出即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式求出CF，求出EF，根據(jù)勾股定理求出PF，根據(jù)面積公式求出即可．解答：（1）△BEC是直角三角形，理由是：∵矩形ABCD，∴∠ADC=∠ABP=90176。，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE===，同理BE=2，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90176。，∴△BEC是直角三角形．（2）解：四邊形EFPH為矩形，證明：∵矩形ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BP，∴四邊形DEBP是平行四邊形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四邊形AECP是平行四邊形，∴AP∥CE，∴四邊形EFPH是平行四邊形，∵∠BEC=90176。，∴平行四邊形EFPH是矩形．（3）解：在RT△PCD中∠FC⊥