數(shù)論之同余問題(編輯修改稿)
2025-04-21 03:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 生分別帶著14元、17元、18元、21元、26元、37元錢，一起到新華書店購買《成語大詞典》．一看定價才發(fā)現(xiàn)有5個人帶的錢不夠，但是其中甲、乙、丙3人的錢湊在一起恰好可買2本，丁、戊2人的錢湊在一起恰好可買1本．這種《成語大詞典》的定價是________元．【解析】 六名小學(xué)生共帶錢133元．133除以3余1，因為甲、乙、丙、丁、戊的錢恰好能買3本，所以他們五人帶的錢數(shù)是3的倍數(shù)，另一人帶的錢除以3余1．易知，這個錢數(shù)只能是37元，所以每本《成語大詞典》的定價是 (元) ．【鞏固】 ．【解析】 兩個顧客買的貨物重量是的倍數(shù)．，剩下的一箱貨物重量除以3應(yīng)當(dāng)余2，只能是20 千克．【例 6】 求的余數(shù)．【解析】 因為，，根據(jù)同余定理(三)， 的余數(shù)等于的余數(shù)，而，所以的余數(shù)為5．【鞏固】 (華羅庚金杯賽模擬試題)求除以17的余數(shù)．【解析】 先求出乘積再求余數(shù)，計算量較大．可先分別計算出各因數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以17的余數(shù)．除以17的余數(shù)分別為2，7和11，．【鞏固】 求的最后兩位數(shù)．【解析】 即考慮除以100的余數(shù)．由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余24，那么除以25余1；又因為除以4余1，則除以4余1；即能被4 和25整除，而4與25互質(zhì)，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余數(shù)即等于除以100的余數(shù)，而除以100余29，除以100余43，所以除以100的余數(shù)等于除以100的余數(shù)，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后兩位數(shù)為63．【鞏固】 除以13所得余數(shù)是_____.【解析】 我們發(fā)現(xiàn)222222整除13，2000247。6余2，所以答案為22247。13余9?！眷柟獭?求除以7的余數(shù)．【解析】 法一：由于 (143被7除余3)，所以 (被7除所得余數(shù)與被7除所得余數(shù)相等) 而，（729除以7的余數(shù)為1）， 所以．故除以7的余數(shù)為5. 法二： 計算被7除所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表： 于是余數(shù)以6為周期變化．所以．【鞏固】 （2007年實驗中學(xué)考題）除以7的余數(shù)是多少？【解析】 由于，而1001是7的倍數(shù)，所以這個乘積也是7的倍數(shù)，故除以7的余數(shù)是0；【鞏固】 被除所得的余數(shù)是多少？【解析】 31被13除所得的余數(shù)為5，當(dāng)n取1，2，3，時被13除所得余數(shù)分別是5，12，8，1，5，12，8，1以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除的余數(shù)與被13除的余數(shù)相同，余12，則除以13的余數(shù)為12；30被13除所得的余數(shù)是4，當(dāng)n取1，2，3，時，被13除所得的余數(shù)分別是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除所得的余數(shù)等于被13除所得的余數(shù)，即4，故除以13的余數(shù)為4；所以被13除所得的余數(shù)是．【鞏固】 (2008年奧數(shù)網(wǎng)杯)已知，問：除以13所得的余數(shù)是多少？
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