微分幾何試題庫(kù)(編輯修改稿)
2025-04-21 01:54 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3問曲面上曲線的切向量沿曲線本身平行移動(dòng)的充要條件是曲面上的曲線是測(cè)地線嗎？為什么？答：曲面上曲線的切向量沿曲線本身平行移動(dòng)的充要條件是曲面上的曲線是測(cè)地線. 事實(shí)上，設(shè)，則的切向量為 記 ，，則曲線的切向量沿平行移動(dòng) 為測(cè)地線 ,另一族是螺旋線.解:因?yàn)? 由于所以,正螺面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸進(jìn)網(wǎng),則一族漸近線是這是螺旋線,另一族漸近線是這是直線.4設(shè)空間兩條曲線和的曲率處處不為零，若曲線和可以建立一一對(duì)應(yīng)，且在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線互相平行，求證曲線和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角.證 設(shè) ，則由知，從而， ，即 這表明曲線和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角. 4證明具有固定方向的充要條件是證明:必要性 設(shè)(為常單位向量),則所以 充分性: (為單位向量函數(shù)),則,因?yàn)?當(dāng),從而有即,因?yàn)?根據(jù)),因此即為常向量,所以有固定方向4給出曲面上一條曲率線，設(shè)上每一點(diǎn)處的副法向量和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角. 求證是一條平面曲線.證 設(shè) ，其中是的自然參數(shù)，記，則，兩邊求導(dǎo)，得， 由為曲率線知，即， 因此 . 若，則為平面曲線； 若，則因?yàn)榍嫔?
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