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正文內(nèi)容

微分幾何習(xí)題解答(曲線論)(編輯修改稿)

2025-04-21 01:54 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 , ={a, a,0 } ,=為副法線的方向向量,過原點(diǎn)平行于副法線的直線的方程是 ,消去參數(shù)t得。7.求以下曲面的曲率和撓率⑴ ,⑵ 。解 ⑴,,所以 。⑵ , = , 。 8.已知曲線,⑴求基本向量;⑵曲率和撓率;⑶驗(yàn)證伏雷內(nèi)公式。分析 這里給出的曲線的方程為一般參數(shù),一般地我們可以根據(jù)公式去求基本向量和曲率撓率,我們也可以利用定義來求。解 ⑴ ,(設(shè)sintcost0), 則, , ,⑵ , ,由于與方向相反,所以 ⑶ 顯然以上所得 滿足 ,而 也滿足伏雷內(nèi)公式 。,則此曲線是直線。證 方法一:取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系,曲線的方程設(shè)為=,則曲線在任意點(diǎn)的切線方程是,由條件切線都過坐標(biāo)原點(diǎn),所以,可見∥,所以具有固定方向,故=是直線。方法二:取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系,曲線的方程設(shè)為=,則曲線在任意點(diǎn)的切線方程是,由條件切線都過坐標(biāo)原點(diǎn),所以,于是=,從而=,所以由曲率的計(jì)算公式知曲率k=0,所以曲線為直線。方法二:設(shè)定點(diǎn)為,曲線的方程為=,則曲線在任意點(diǎn)的切線方程是,由條件切線都過定點(diǎn),所以,兩端求導(dǎo)得: , 即 ,而無關(guān),所以,可知,因此曲線是直線。10. 證明如果曲線的所有密切平面都經(jīng)過一的定點(diǎn),則此曲線是平面曲線。證 方法一:取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系,曲線的方程設(shè)為=,則曲線在任意點(diǎn)的密切平面的方程是,由條件,即()=0,所以平行于一固定平面,即=是平面曲線。方法二:取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系,曲線的方程設(shè)為=,則曲線在任意點(diǎn)的密切平面方程是,由條件,兩邊微分并用伏雷內(nèi)公式得 。若,又由可知∥,所以=平行于固定方向,這時(shí)=表示直線,結(jié)論成立。否則,從而知曲線是平面曲線。方法三:取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系,曲線的方程設(shè)為=,則曲線在任意點(diǎn)的密切平面方程是,由條件,即()=0,所以,共面,若∥,則=是直線,否則可設(shè),所以共面,所以,從而知曲線是平面曲線。 11. 證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量,那么曲線是直線或平面曲線。證 方法一:根據(jù)已知,若是常向量,則k==0 ,這時(shí)曲線是直線。否則在兩邊微分得=0,即 k=0,所以=0,又因,所以∥,而為單位向量,所以可知為常向量,于是,即,此曲線為平面曲線。方法二:曲線的方程設(shè)為=,由條件=0,兩邊微分得=0,=0,所以, ,共面,所以()=0。由撓率的計(jì)算公式可知,故曲線為平面曲線。當(dāng)=時(shí)是直線。方法三:曲線的方程設(shè)為=,由條件=0,兩邊積分得(是常數(shù))。因是平面的方程
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