彈性力學簡明指導教程(第四版)課后習題解答(編輯修改稿)
2025-04-21 01:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 容方程 （a） （b）顯然滿足（a）（b）（2）對于微小的三角板A，dx，dy都為正值，斜邊上的方向余弦，將，代入平面問題的應力邊界條件的表達式（215），且，則有所以。對于單連體，上述條件就是確定應力的全部條件。（3）對于多連體，應校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應力情況，首先，將應力分量代入物理方程（212），得形變分量， （d）將（d）式中形變分量代入幾何方程（28），得 （e）前兩式積分得到 （f）其中分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式（f）代入式（e）的第三式，得等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個常數(shù)，于是有積分后得代入式（f）得位移分量 （g）其中為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得從式（g）可見，位移是坐標的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件。因而，應力分量是正確的解答?！?18】設有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F（圖222），體力可以不計。試根據(jù)材料力學公式，寫出彎應力，然后證明這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達式是否就表示正確的解答。【解答】（1）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程，橫截面對中性軸的慣性矩為，根據(jù)材料力學公式彎應力；該截面上的剪力為，剪應力為取擠壓應力（2）將應力分量代入平衡微分方程檢驗第一式： 第二式：左=0+0=0=右該應力分量滿足平衡微分方程。（3）將應力分量代入應力表示的相容方程 滿足相容方程（4）考察邊界條件①在主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件(215) 01000100代入公式（215），得②在次要邊界x=0上，列出三個積分的應力邊界條件，代入應力分量主矢主矩滿足應力邊界條件③在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設，即面力的主矢、主矩，其次，將應力分量代入應力主矢、主矩表達式，判斷是否與面力主矢與主矩等效： 滿足應力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答?！?19】試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢函數(shù)，則應力分量亦可用應力函數(shù)表示成為，試導出相應的相容方程?！窘獯稹浚?）將帶入平衡微分方程（22） （a）將（a）式變換為 （b）為了滿足式（b），可以取即（2）對體力、應力分量求偏導數(shù)，得 （c）將（c）式代入公式（221）得平面應力情況下應力函數(shù)表示的相容方程 （221）整理得： （d）即平面應力問題中的相容方程為將（c）式代入公式（222）或?qū)ⅲ╠）式中的替換為，的平面應變情況下的相容方程： （e）即 。證畢。第三章 平面問題的直角坐標解答【31】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應力邊界條件式（215），而在小邊界上可以應用圣維南原理，用三個積分的應力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個積分的應力邊界條件代替式（215），將會發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學問題屬于數(shù)學物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往比較困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應力分布，對遠處的應力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個積分的應力邊界條件來代替精確的應力邊界條件（公式215），就會影響大部分區(qū)域的應力分布，會使問題的解答精度不足。【32】如果在某一應力邊界問題中，除了一個小邊界條件，平衡微分方程和其它的應力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個小邊界上，三個積分的應力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核?！窘獯稹繀^(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應力邊界條件實質(zhì)上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應力）的平衡條件。研究對象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個次要邊界上，三個積分的應力邊界條件是自然滿足的,因而可以不必校核?！?3】如果某一應力邊界問題中有m個主要邊界和n個小邊界，試問在主要邊界和小邊界上各應滿足什么類型的應力邊界條件，各有幾個條件？【解答】在m個主要邊界上，每個邊界應有2個精確的應力邊界條件，公式（215），共2m個；在n個次要邊界上，如果能滿足精確應力邊界條件，則有2n個；如果不能滿足公式（215）的精確應力邊界條件，則可以用三個靜力等效的積分邊界條件來代替2個精確應力邊界條件，共3n個?！?4】試考察應力函數(shù)在圖38所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題(體力不計)? 【解答】⑴相容條件:不論系數(shù)a取何值，應力函數(shù)總能滿足應力函數(shù)表示的相容方程，式(225).⑵求應力分量當體力不計時，將應力函數(shù)代入公式(224)，得⑶考察邊界條件上下邊界上應力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當a0時，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端: 右端: 應力分布如圖所示，當時應用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因為在A點的應力為零。設板寬為b，集中荷載p的偏心距e：同理可知，當0時，可以解決偏心壓縮問題?！?5】取滿足相容方程的應力函數(shù)為：⑴⑵⑶試求出應力分量（不計體力），畫出圖39所示彈性體邊界上的面力分布，并在小邊界上表示出面力的主矢量和主矩?！窘獯稹浚?）由應力函數(shù)，得應力分量表達式考察邊界條件，由公式（215）①主要邊界，上邊界上，面力為 ②主要邊界，下邊界，面力為 ③次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：次要邊界，右邊界x=l上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示⑵將應力函數(shù)代入公式（224），得應力分量表達式，考察應力邊界條件，主要邊界,由公式（215）得在主要邊界，上邊界上，面力為在，下邊界上，面力為在次要邊界上，分布面力可按(215)計算，面里的主矢、主矩可通過三個積分邊界條件求得：在左邊界x=0，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩；在右邊界x=l上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示（3）將應力函數(shù)代入公式
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