【文章內(nèi)容簡介】 解： 設(shè)f(x,y)= ,則 故在的任何區(qū)域上存在且連續(xù)， 因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件， 顯然，是通過點(diǎn)（0，0）的一個(gè)解； 又由解得，|y|= 所以，通過點(diǎn)（0，0）的一切解為及|y|=解： (1) 齊次方程的通解為x= (2)不是特征根，故取代入方程比較系數(shù)得A=，B=于是 通解為x=+解： det()= 所以， 設(shè)對應(yīng)的特征向量為 由 取 所以，= 解： 因?yàn)榉匠探M（1）是二階線性駐定方程組，且滿足條件 ，故奇點(diǎn)為原點(diǎn)（0，0） 又由det(AE)=得 所以，方程組的奇點(diǎn)（0，0）可分為以下類型： a，c為實(shí)數(shù)三、證明題。 （10分）證明： 設(shè)的形式為= （1） （C為待定的常向量） 則由初始條件得= 又= 所以，C== 代入（1）得= 即命題得證。常微分方程期終試卷(7)一、選擇題1．階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是（ ）個(gè)．（A） （B）1 （C）+1 （D）+22．李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的（ ）條件．（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分3. 方程過點(diǎn)共有（ ）個(gè)解．?。ˋ）一 （B）無數(shù) （C）兩 （D）三4．方程（ ）奇解．（A）有一個(gè) （B）有兩個(gè) （C）無 （D）有無數(shù)個(gè)5．方程的奇解是（ ）．（A） （B） （C） （D）二、計(jì)算題=+y=03. 4. 5.三、求下列方程的通解或通積分1.2. 3. 四．證明，是方程的解，且滿足==0，這里在上連續(xù)，．試證明：存在常數(shù)C使得=C．2．在方程中，已知，在上連續(xù)．求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切．試卷答案一、選擇題 二、計(jì)算題1． 解：將方程改寫為=+（*） 令u=,得到 =x+u,則(*)變?yōu)閤=, 變量分離并兩邊積分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解為arcsin=lnCx。2． 解：變量分離 ctgxdy=tgydx, 兩邊積分得 ln(siny)=ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1…) ，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)當(dāng)C=0時(shí)的特殊情況，故原方程的解為sinycosx=C。3. 方程化為 令，則，代入上式，得 分量變量，積分，通解為 原方程通解為 4．解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 +5．解 因?yàn)椋栽匠淌侨⒎址匠? 取，原方程的通積分為 即三、求下列方程的通解或通積分1．解 當(dāng)時(shí)，分離變量得 等式兩端積分得 方程的通積分為 2．解 令，則，代入原方程，得 ， 當(dāng)時(shí)，分離變量，再積分，得 ，即通積分為： 3．解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 + 四．證明 設(shè)，是方程的兩個(gè)解，則它們在上有定義，其朗斯基行列式為 由已知條件，得 故這兩個(gè)解是線性相關(guān)的． 由線性相關(guān)定義，存在不全為零的常數(shù)，使得， 由于，可知．否則，若，則有，而，則，這與，線性相關(guān)矛盾．故 2．證明 由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件，且任一解的存在區(qū)間都是． 顯然，該方程有零解． 假設(shè)該方程的任一非零解在x軸上某點(diǎn)處與x軸相切，即有= 0，那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因?yàn)榱憬庖矟M足初值條件= 0，于是由解的惟一性，有．這與是非零解矛盾．常微分方程期終試卷(8)一、 填空（每空3分） 稱為一階線性方程，它有積分因子 ，其通解為 。函數(shù)稱為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果 。若為階齊線性方程的個(gè)解，則它們線性無關(guān)的充要條件是 。形如 的方程稱為歐拉方程。若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系： 。若向量函數(shù)在域上 ，則方程組的解存在且惟一。當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部 ，零解是穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點(diǎn)稱為 。二、 求下列方程的解 （6分） （8分） （8分） （8分） （6分） （8分） （8分）三、 求方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性（8分）答案一、 填空（每空4分） 形如的方程， 存在常數(shù)，使得，有 （C為非奇異方程） 連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件 等于零，穩(wěn)定中心二、 求下列方程的解 （6分） 解：故方程的通解為 （8分）解：兩邊除以： 變量分離： 兩邊積分：即： （8分）解：令則于是 得 即 兩邊積分 于是，通解為（8分）解：積分：故通解為：（6分）解：齊線性方程的特征方程為，故通解為不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 于是原方程通解為（8分）解：齊線性方程的特征方程為，解得于是齊線性方程通解為令為原方程的解，則得，積分得；故通解為（8分）解：則 從而方程可化為 ， 積分得 三、 求方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性（8分）解：解方程組，解得所以（1，3）為奇點(diǎn)。令則 而，令，得為虛根，且，故奇點(diǎn)為穩(wěn)定中心，零解是穩(wěn)定的。常微分期中測試卷(2) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)2. 1. x=+y3. 2. tgydxctydy=04. 3. {yx(+)}dxxdy=05. 4. 2xylnydx+{+}dy=05. =6x6. =27. 已知f(x)=1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。8．一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為）。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。 二． 證明題(10%*2=20%)1. 證明：如果已知黎卡提方程的一個(gè)特解，則可用初等方法求得它的通解。2． 試證：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N試同齊次函數(shù)，且xM+yN0,則是該方程的一個(gè)積分因子。試題答案：1． 解：將方程改寫為 =+ （*） 令u=,得到x=x+ u,則(*)變?yōu)閤 =, 變量分離并兩邊積分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解為arcsin=lnCx。2． 解：變量分離 ctgxdy=tgydx, 兩邊積分得 ln(siny)= ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1…) ，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)當(dāng)C=0時(shí)的特殊情況，故原方程的解為sinycosx=C。3． ydxxdyx(+)dx=0,兩邊同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解為arctg=C。4． 解：=2xlny+2x , =2x,則 ==,故方程有積分因子==，原方程兩邊同乘以得dx+dy=0是恰當(dāng)方程. d(lny)+ydy=0,兩邊積分得方程的解為lny+=C。5． 解：1）y=0是方程的特解。2）當(dāng)y0時(shí)，令z=得=z+x. 這是線性方程，解得它的通解為z=代回原來的變量y得方程解為=；y=0.6． 解：令x=u+3, y=v2, 可將原方程變?yōu)?，再令z=，得到z+=，即=，分離變量并兩端積分得=+lnC即ln+2arctgz=+lnC，ln=2arctgz+lnC代回原變量得v=C所以，原方程的解為y+2=C.9． 解：令f(x)=y，=，兩邊求導(dǎo)得=y，即=y，即=dx，兩邊求積得=2x+C，從而y=，故f(x)= .10． 解：因?yàn)镕=ma=m，又F==，即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，解得v=+(t).11． 解：1）先找到一個(gè)特解y=。2）令y=+z，化為n=2的伯努利方程。證明：因?yàn)閥=為方程的解，所以=P(x)+Q(x)+R(x) (1)令y=+z，則有+= P(x)+Q(x)+R(x) (2)(2)(1)得= P(x)+Q(x)z即=[2P(x)+Q(x)]z+P(x)此為n=2的伯努利方程。12． 證明：如M、N都是n次齊次函數(shù)，則因?yàn)閤+y=nM，x+y=nN，故有====0.故命題成立。常微分方程期終試卷(9)一、填空題（每小題5分，本題共30分）1．方程的任一解的最大存在區(qū)間必定是　　 　　．2．方程的基本解組是 ．3．向量函數(shù)組在區(qū)間I上線性相關(guān)的________________條件是在區(qū)間I上它們的朗斯基行列式．4．李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的　　 　　條件．5．階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè) 維線性空間．6．向量函數(shù)組在其定義區(qū)間上線性相關(guān)的 條件是它們的朗斯基行列式，．二、計(jì)算題（每小題8分，本題共40分）求下列方程的通解7. 8. 9．10．求方程的通解．11．求下列方程組的通解． 三、證明題（每小題15分，本題共30分）12．設(shè)和是方程的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù)．13．設(shè)在區(qū)間上連續(xù)．試證明方程 的所有解的存在區(qū)間必為． 《常微分方程》期末試卷參考答案一、填空題（每小題5分，本題共30分） 1． 2．3．必要4．充分5．n6．必要二、計(jì)算題（每小題8分，本題共40分）7．解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 + 8．解 由于，所以原方程是全微分方程．