【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。b=k(k為常數(shù))，則稱(chēng)a、b成正比；反比例：如果ab=k(k為常數(shù))，則稱(chēng)a、b成反比．二、比和比例在行程問(wèn)題中的體現(xiàn)在行程問(wèn)題中，因?yàn)橛兴俣?，所以：當(dāng)一組物體行走速度相等，那么行走的路程比等于對(duì)應(yīng)時(shí)間的反比；當(dāng)一組物體行走路程相等，那么行走的速度比等于對(duì)應(yīng)時(shí)間的反比；當(dāng)一組物體行走時(shí)間相等，那么行走的速度比等于對(duì)應(yīng)路程的正比．1．A和B兩個(gè)數(shù)的比是8：5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，試求這兩個(gè)數(shù)．【分析與解】方法一：設(shè)A為8x，則B為5x，于是有(8x34):(5x34)=2：1，x=17，所以A為136，B為85．方法二：因?yàn)闇p少的數(shù)相同，所以前后A 、B的差不變，開(kāi)始時(shí)差占3份，后來(lái)差占1份且與B一樣多，也就是說(shuō)減少的34，占開(kāi)始的31=2份，所以開(kāi)始的1份為34247。2=17，所以A為178=136，B為175=85．2．近年來(lái)火車(chē)大提速，1427次火車(chē)自北京西站開(kāi)往安慶西站，行駛至全程的再向前56千米處所用時(shí)間比提速前減少了60分鐘，而到達(dá)安慶西站比提速前早了2小時(shí)．問(wèn)北京西站、安慶西站兩地相距多少千米? 【分析與解】設(shè)北京西站、安慶西站相距多少千米？ (x+56)：x=60：120，即(x+56)：x=1：2，即x=x+112，解得x=1232． 即北京西站、安慶西站兩地相距1232千米，3．兩座房屋A和B各被分成兩個(gè)單元．若干只貓和狗住在其中．已知：A房第一單元內(nèi)貓的比率(即住在該單元內(nèi)貓的數(shù)目與住在該單元內(nèi)貓狗總數(shù)之比)大于B房第一單元內(nèi)貓的比率；并且A房第二單元內(nèi)貓的比率也大于B房第二單元內(nèi)貓的比率．試問(wèn)是否整座房屋A內(nèi)貓的比率必定大于整座房屋B內(nèi)貓的比率? 【分析與解】 如下表給出的反例指出：對(duì)所提出問(wèn)題的回答應(yīng)該是否定的．表中具體寫(xiě)出了各個(gè)單元及整座房屋中的寵物情況和貓占寵物總數(shù)的比率．4．家禽場(chǎng)里雞、鴨、鵝三種家禽中公籬與母籬數(shù)量之比是2：3，已知雞、鴨、鵝數(shù)量之比是8：7：5，公雞、母雞數(shù)量之比是1：3，公鴨、母鴨數(shù)量之比是3：4．試求公鵝、母鵝的數(shù)量比．【分析與解】 公雞占家禽場(chǎng)家禽總數(shù)的=，母雞占總數(shù)的；公鴨占總數(shù)的，母鴨占總數(shù)的；公鵝占總數(shù)的，母鵝占總數(shù)的，公鵝、母鵝數(shù)量之比為：3：2．5．在古巴比倫的金字塔旁，其朝西下降的階梯旁6m的地方樹(shù)立有1根走子，其影子的前端正好到達(dá)階梯的第3階(箭頭)．另外，此時(shí)樹(shù)立l根長(zhǎng)70cm自桿子，其影子的長(zhǎng)度為175cm，設(shè)階梯各階的高度與深度都是50cm，求柱子的高度為多少？ 【分析與解】70cm的桿子產(chǎn)生影子的長(zhǎng)度為175cm。所以影子的長(zhǎng)度與桿子的長(zhǎng)度比為：175：70=．于是，影子的長(zhǎng)度為6++=，247。=．6．已知三種混合物由三種成分A、B、C組成，第一種僅含成分A和B，重量比為3：5；第二種只含成分B和C，重量比為I：2；第三種只含成分A和C，重量之比為2：3．以什么比例取這些混合物，才能使所得的混合物中A，B和C，這三種成分的重量比為3：5：2 ?【分析與解】注意到第一種混合物種A、B重量比與最終混合物的A、B重量比相同，均為3：，先將第二種、第三種混合物的A、B重量比調(diào)整到 3：5，再將第二種、第三種混合物中A、B與第一種混合物中A、B視為單一物質(zhì). 第二種混合物不含A，第三種混合物不含B，5倍第二種混合物含B為5，即第二種、第三種混合物的重量比為5：． 于是此時(shí)含有C為52+3=，在最終混合物中C的含量為3A／5B含量的2倍．247。21=，．即第一、二、：5：=25：20：6．7．現(xiàn)有男、女職工共1100人，其中全體男工和全體女工可用同樣天數(shù)完成同樣的工作；若將男工人數(shù)和女工人數(shù)對(duì)調(diào)一下，則全體男25天完成的工作，全體女工需36天才能完成，問(wèn)：男、女工各多少人?【分析與解】 直接設(shè)出男、女工人數(shù)，然后在通過(guò)方程求解，過(guò)程會(huì)比較繁瑣．設(shè)開(kāi)始男工為“1”，此時(shí)女工為“k”，有1名男工相當(dāng)k名女工．男工、女工人數(shù)對(duì)調(diào)以后，則男工為“k”，相當(dāng)于女工“k2”，女工為“I”． 有k2：1=36：25，所以k=． 于是，開(kāi)始有男工數(shù)為1100=500人，女工600人．8．有甲乙兩個(gè)鐘，甲每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢5分鐘，而乙每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快5分鐘，在3月15日的零點(diǎn)零分的時(shí)候兩鐘正好對(duì)準(zhǔn)．若已知在某一時(shí)刻，乙鐘和甲鐘時(shí)針與分針都分別重合，且在從3月15日開(kāi)始到這個(gè)時(shí)候，乙鐘時(shí)針與分針重合的次數(shù)比甲鐘多10次，那么這個(gè)時(shí)候的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少?【分析與解】 標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)鐘每隔分鐘重合一次． 假設(shè)經(jīng)歷了x分鐘． 于是，甲鐘每隔分鐘重合一次，甲鐘重合了x次； 同理，乙鐘重合了x次； 于是，需要乙鐘比甲鐘多重合x(chóng)x=x=10。所以，x=2460；所以要經(jīng)歷246065分鐘，則為天.于是為65天小時(shí)分鐘．9．一隊(duì)和二隊(duì)兩個(gè)施工隊(duì)的人數(shù)之比為3：4，每人工作效率之比為5：4，兩隊(duì)同時(shí)分別接受兩項(xiàng)工作量與條件完全相同的工程，結(jié)果二隊(duì)比一隊(duì)早完工9天．后來(lái)，由一隊(duì)工人與二隊(duì)工人組成新一隊(duì)，其余的工人組成新二隊(duì)．兩支新隊(duì)又同時(shí)分別接受兩項(xiàng)工作量與條件完全相同的工程，結(jié)果新二隊(duì)比新一隊(duì)早完工6天．試求前后兩次工程的工作量之比?【分析與解】 一隊(duì)與二隊(duì)的工作效率之比為：(35)：(44)=15：16． 一隊(duì)干前一個(gè)工程需9247。=144天． 新一隊(duì)與新二隊(duì)的工作效率之比為： 新一隊(duì)干后一個(gè)工程需6247。=282天．一隊(duì)與新一隊(duì)的工作效率之比為所以一隊(duì)干后一個(gè)工程需282天．前后兩次工程的工作量之比是144：(282)=(14445)：(28246)=540：1081.第6講 工程問(wèn)題 多人完成工作、水管的進(jìn)水與排水等類(lèi)型的應(yīng)用題．解題時(shí)要經(jīng)常進(jìn)行工作時(shí)間與工作效率之間的轉(zhuǎn)化． 1．甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時(shí)司以完成任務(wù)．如果甲單獨(dú)加工，便需要12小時(shí)完成．現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了2小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420個(gè)零件才完成任務(wù)．問(wèn)乙一共加工零件多少個(gè)? 【分析與解】乙單獨(dú)加工，每小時(shí)加工－=. 甲調(diào)出后，剩下工作乙需做(8—2)(247。)=(小時(shí))，所以乙每小時(shí)加工零件420247。=25個(gè)，則2小時(shí)加工225=60(個(gè))，因此乙一共加工零件60+420＝480(個(gè))． 2．某工程先由甲單獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成．如果由甲、乙兩人合作，需48天完成．現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么還需做多少天?【分析與解】 由右表知，甲單獨(dú)工作15天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作20天，也就是甲單獨(dú)工作3天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作4天． 所以，甲單獨(dú)工作63天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作63247。34=84天，即乙單獨(dú)工作84+28=112天即可完成這項(xiàng)工程． 現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作42247。34=56天，即乙還需單獨(dú)工作112—56=56天即可完成這項(xiàng)工程． 3．有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10天，乙隊(duì)獨(dú)修需12天，丙隊(duì)獨(dú)修需15天．現(xiàn)在讓3個(gè)隊(duì)合修，但中間甲隊(duì)撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完．當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了多少天才完成? 【分析與解】 甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)合修的工作效率為++=，那么它們6天完成的工程量為6=，而實(shí)際上因?yàn)橹型境烦黾钻?duì)6天完成了的工程量為1． 所以－1=是因?yàn)榧钻?duì)的中途撤出造成的，甲隊(duì)需247。=5(天)才能完成的工程量，所以甲隊(duì)在6天內(nèi)撤出了5天． 所以，當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了5天才完成． 4．一件工程，甲隊(duì)獨(dú)做12天可以完成，甲隊(duì)做3天后乙隊(duì)做2天恰好完成一半．現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合做若干天后，由乙隊(duì)單獨(dú)完成，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等，則共用了多少天? 【分析與解】 甲隊(duì)做6天完成一半，甲隊(duì)做3天乙隊(duì)做2天也完成一半。所以甲隊(duì)做3天相當(dāng)于乙隊(duì)做2天． 即甲的工作效率是乙的，從而乙單獨(dú)做12=8(天)完成，所以?xún)啥嗡脮r(shí)間相等，每段時(shí)間應(yīng)是： 8247。(1+l+)＝3(天)，因此共用32＝6(天)． 5．抄一份書(shū)稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天才能完成？ 【分析與解】已知甲、乙、丙合抄一天完成書(shū)稿的，又已知甲每天抄寫(xiě)量等于乙、丙兩人每天抄寫(xiě)量之和，因此甲兩天抄寫(xiě)書(shū)稿的，即甲每天抄寫(xiě)書(shū)稿的； 由于丙抄寫(xiě)5天相當(dāng)于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫(xiě)書(shū)稿的，即丙每天抄寫(xiě)書(shū)稿的；于是可知乙每天抄寫(xiě)書(shū)稿的－－＝. 所以乙一人單獨(dú)抄寫(xiě)需要1247。=24天才能完成． 6．游泳池有甲、乙、丙三個(gè)注水管．如果單開(kāi)甲管需要20小時(shí)注滿(mǎn)水池；甲、乙兩管合開(kāi)需要8小時(shí)注滿(mǎn)水池；乙、丙兩管合開(kāi)需要6小時(shí)注滿(mǎn)水池．那么，單開(kāi)丙管需要多少小時(shí)注滿(mǎn)水池? 【分析與解】 乙管每小時(shí)注滿(mǎn)水池的=, 丙管每小時(shí)注滿(mǎn)水池的=. 因此，單開(kāi)丙管需要1247。==10(小時(shí))． 7．一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成．那么甲、丁兩人合作多少天可以完成? 【分析與解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、. 對(duì)于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．即+－=，所以甲、丁合作的工作效率為．所以，甲、丁兩人合作24天可以完成這件工程． 8．一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成．那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需要多少天? 【分析與解】 方法一：對(duì)于工作效率有： (甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即+－=為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為． 而對(duì)于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率為－＝ 那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需1247。=48天． 方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝＋＋＝，所以(甲，乙，丙)=247。2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為． 那么丙單獨(dú)工作的工作效率為－＝，那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需48天． 9．某工程如果由第3小隊(duì)合干需要12天才能完成；如果由第5小隊(duì)合干需要7天才能完成；如果由第5小隊(duì)合干需要8天才能完成；如果由第4小隊(duì)合干需要42天才能完成．那么這5個(gè)小隊(duì)一起合干需要多少天才能完成這項(xiàng)工程? 【分析與解】 由已知條件可得，對(duì)于工作效率有： (3)+(5)+2(5)+(4)=3(5)．所以5個(gè)小隊(duì)一起合作時(shí)的工作效率為： （＋＋2＋）247。3＝所以5個(gè)小隊(duì)合作需要6天完成這項(xiàng)工程.評(píng)注：這類(lèi)需綜合和差倍等知識(shí)的問(wèn)題在工程問(wèn)題中還是很常見(jiàn)的. 10．一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水．若只開(kāi)甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，水箱已滿(mǎn)；若只開(kāi)乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿(mǎn)．又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍．則該水箱最多可容納多少?lài)嵥? 【分析與解】 設(shè)甲管注入18噸水所需的時(shí)間為“1”，而乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍，那么乙管注入18噸的水所需時(shí)間為“”，所以乙管注入27噸水所需的時(shí)間為27247。18=. 以下采用兩種方法： 方法一：設(shè)丙在單位時(shí)間內(nèi)注入的水為“1”，那么有：因此18+“1”=27+“”，則“”=9噸，所以“1”=36噸，即丙在單位時(shí)間內(nèi)灌入36噸的水． 所以水箱最多可容納18+36=54噸的水． 方法二：也就是說(shuō)甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的． 再設(shè)甲單獨(dú)灌水的工作效率為“1”，那么乙單獨(dú)灌水的工作效率為“2”，有1+丙=(2+丙)；所以丙的工作效率為“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌時(shí)，丙也灌了27噸，那么水箱最多可容納27+27=54噸水． ，它有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管．甲、乙兩管單獨(dú)灌滿(mǎn)水池分別需要10小時(shí)和15小時(shí)．水池中原有一些水，如果甲、乙兩管同時(shí)進(jìn)水而排水管放水，需要6小時(shí)將水池中的水放完；如果甲管進(jìn)水而排水管放水，需要2小時(shí)將水池中的水放完．問(wèn)水池中原有水多少立方米? 【分析與解】 甲每小時(shí)注水100247。10=10(立方米)， 乙每小時(shí)注水100247。15=(立方米)， 設(shè)排水管每小時(shí)排水量為“排”，則(“排”－10－)3=(“排”－10)，整理得3“排”－3=“排”－10,2“排”=40，則“排”=20． 所以水池中原有水(20—10)2=20(立方米)． 12．一個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開(kāi)的排水管，上部安有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管．當(dāng)打開(kāi)4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿(mǎn)水池；當(dāng)打開(kāi)2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿(mǎn)水池．現(xiàn)在需要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿(mǎn)，那么最少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管? 【分析與解】 記水池的容積為“1”，設(shè)每個(gè)進(jìn)水管的工作效率為“進(jìn)”，排水管的工作效率為“排”，那么有： 4“進(jìn)”－“排”=， 2“進(jìn)”－“排”=.