【正文】 ②在第一包糖中，奶糖占25％，在第二包糖中，水果糖占50％；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的兩倍．當(dāng)兩包糖合在一起時，巧克力糖占28％，那么水果糖所占百分比等于多少?【分析與解】表述1：設(shè)第一包有2粒糖，則第二包有3粒糖，設(shè)第二包有3粒巧克力糖，則第一包有4粒巧克力糖． 28％，所以28％=20％．于是第一包中，巧克力糖占=40％，水果糖占140％25％=35％．在兩包糖總粒數(shù)中，水果糖占44％．表述2：設(shè)第一包糖總數(shù)為“2”，那么第二包糖總數(shù)為“3”，并設(shè)第一包糖含有巧克力糖2c，第二包糖含有巧克力糖c． 那么有22c+3c=28％(2+3)，有7c=140％，所以c=20％，那么有如下所示的每種糖所占的百分數(shù)．所以水果糖占總數(shù)的(35％2+50％3)247。15=90張，那么200本需20090=18000張．即這批紙共有18000張． 5．有男女同學(xué)325人，新學(xué)年男生增加25人，女生減少5％，總?cè)藬?shù)增加16人．那么現(xiàn)有男同學(xué)多少人? 【分析與解】男生增加25人，女生減少5％，而總?cè)藬?shù)增加了16人，說明女生減少了2516=9人，那么女生原來有9247。=240只，即原來東、西兩院一共養(yǎng)雞40+240=280只． 4．用一批紙裝訂一種練習(xí)本．如果已裝訂120本，剩下的紙是這批紙的40％；如果裝訂了185本，則還剩下1350張紙．這批紙一共有多少張? 【分析與解】 方法一：裝訂120本，剩下40％的紙，即用了60％的紙． 那么裝訂185本，需用185(60％247。［1999（1+10001+100010001+…）］1999＝1998247。3=29103116176=7358.第3講 多位數(shù)的運算多位數(shù)的運算，涉及利用＝10k1，提出公因數(shù)，遞推等方法求解問題． 一、＝10k1的運用 在多位數(shù)運算中，我們往往運用＝10k1來轉(zhuǎn)化問題； 如：59049 我們把轉(zhuǎn)化為247。100=(11+22+32+42+52+…+99299)247。100=[(12+23+34+45+…+9798+9899)+(1+2+3+4+…+97+98)]247。3 =[123+23(41)+34(52)+45(63)+56(74)+…+99100(10198)]247。2=(1+100)100247。最大的一個是多少?【分析與解】 有整數(shù)部分盡可能大，十分位盡可能大，則有92918……較大，于是最大的為． 11．請你舉一個例子，說明“兩個真分數(shù)的和可以是一個真分數(shù)，而且這三個分數(shù)的分母誰也不是誰的約數(shù)”. 【分析與解】 有， 評注：本題實質(zhì)可以說是尋找孿生質(zhì)數(shù)，為什么這么說呢? 注意到，當(dāng)時，有． 當(dāng)a、b、c兩兩互質(zhì)時，顯然滿足題意． 顯然當(dāng)a、b、c為質(zhì)數(shù)時一定滿足，那么兩個質(zhì)數(shù)的和等于另一個質(zhì)數(shù)，必定有一個質(zhì)數(shù)為2，不妨設(shè)a為2，那么有，顯然b、c為一對孿生質(zhì)數(shù)． 即可得出一般公式：，c與c+2均為質(zhì)數(shù)即可. 12．計算： 【分析與解】原式=====.13．？ 【分析與解】 ===.因為＜所以＜.同時＞所以a＞.綜上有＜a＜．所以a的整數(shù)部分為101．14．問與相比，哪個更大，為什么?【分析與解】方法一：令，有.而B中分數(shù)對應(yīng)的都比A中的分數(shù)大，則它們的乘積也是B＞A，有AA＜4B＜，所以有AA＜，那么A＜．即與相比，更大．方法二：設(shè)，則=，顯然、…、都是小于1的，所以有A2＜，于是A＜.15．下面是兩個1989位整數(shù)相乘：．問：乘積的各位數(shù)字之和是多少?【分析與解】在算式中乘以9，再除以9，則結(jié)果不變．因為能被9整除，所以將一個乘以9，另一個除以9，使原算式變成：=== 得到的結(jié)果中有1980247。9=220個“123456790”和“987654320”及一個“12345678”和一個“987654321”，所以各位數(shù)之和為：+評注：111111111247。2=5050．方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+… 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+…4+ 3+ 2+ 1,上下兩個數(shù)相加都是101，并且有100組，所以兩倍原式的和為101100，那么原式的和為10l100 247。3 方程二：利用平方差公式12+22+32+42+…+n2= 原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+…+992+99 =12+22+32+42+52+…+992+1+2+3+4+5+…+99 = =328350+4950 =333300．5．計算下列式子的值： ++++…++ 【分析與解】這個題看上去是一個關(guān)于小數(shù)的問題，實際上我們可以先把它們變成整數(shù)，然后再進行計算．即先計算13+24+35+46+…+9799+98100。100=(9899100+9899)247。100=(9910019999)247。3， 于是原式為59049=（247。19991999＝1998. 6．試求1993123999999乘積的數(shù)字和為多少? 【分析與解】 我們可以先求出1993123的乘積，再計算與(1000000—1)的乘積，但是1993123還是有點繁瑣．設(shè)1993123=M，則(1000123＝)123000M(2000123=)246000，所以M為6位數(shù)，并且末位不是0；令M＝則M999999＝M（10000001）＝1000000MM＝＝+1－＝+1＝ 那么這個數(shù)的數(shù)字和為：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=96=54． 所以原式的計算結(jié)果的數(shù)字和為54．評注：M的數(shù)字和為9k．(其中M的位數(shù)為x，且x≤k)． 7．試求999999999999999…乘積的數(shù)字和為多少? 【分析與解】 通過上題的計算，由上題評注：設(shè)999999999999999…＝M， 于是M類似的情況，于是，確定好M的位數(shù)即可；注意到999999999999999…＝M，則M10100100013100000000…＝ 其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023； 即M，即M最多為1023位數(shù)，所以滿足的使用條件，那么M與乘積的數(shù)字和為10249=10240—1024=9216．原式的乘積數(shù)字和為9216． 三、遞推法的運用有時候，對于多位數(shù)運算，我們甚至可以使用遞推的方法來求解，也就是通常的找規(guī)律的方法． 8．我們定義完全平方數(shù)A2=AA，即一個數(shù)乘以自身得到的數(shù)為完全平方數(shù)；已知：123456765432149是一個完全平方數(shù)，求它是誰的平方?【分析與解】 我們不易直接求解，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來求解：121＝112；12321＝1112；1234321＝11112……于是，我們歸納為1234…n…4321=（）2 所以，1234567654321：11111112；則，123456765432149=1111111272=77777772．所以，題中原式乘積為7777777的平方．評注：以上歸納的公式1234…n…4321＝（）2，只有在n10時成立．9.①=A2，求A為多少? ②求是否存在一個完全平方數(shù)，它的數(shù)字和為2005？ 【分析與解】 方法一：問題①直接求解有點難度，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來求解： ①注意到有可以看成，其中n＝2004； 尋找規(guī)律：當(dāng)n=1時，有49=72； 當(dāng)n=2時，有4489=672；當(dāng)n=3時，有444889=6672； …… …… 于是，類推有= 方法二：下面給出嚴格計算： =++1； 則++1＝（4+8）+1＝［4（+1）+8］+1＝［4（）+12］+1＝（）236+12+1＝（）262+2（6）+1＝（）2 ②由①知＝，于是數(shù)字和為(4n+8n一8+9)=12n+1=2005；于是，n=167，所以=，所以存在，并且為. 10．計算9的乘積是多少? 【分析與解】采用遞推的方法693=162； 66933=19602； 6669333=1996002； …… …… 于是，猜想9= 9=評注：我們與題l對比，發(fā)現(xiàn)題1為93使用遞推的方法就有障礙,=10k—l這種方法適用面要廣泛一點． 練習(xí)1．設(shè)N=9，則N的各位數(shù)字之和為多少? 練習(xí)2．乘積的積是多少?各位數(shù)字之和又是多少?練習(xí)3．試求的各位數(shù)字之和是多少?第4講 比例和百分數(shù)成本、利潤、價格等基本經(jīng)濟術(shù)語，以及它們之間的關(guān)系．各種已知數(shù)據(jù)或所求結(jié)果中包含比例與百分數(shù)的應(yīng)用題，有時恰當(dāng)選取較小的量作為一個單位，司以實現(xiàn)整數(shù)化計算． 1．迎春農(nóng)機廠計劃生產(chǎn)一批插秧機，現(xiàn)已完成計劃的56％，如果再生產(chǎn)5040臺，總產(chǎn)量就超過計劃產(chǎn)量的16％．那么，原計劃生產(chǎn)插秧機多少臺? 【分析與解】 : 5040247。120)=92．5％的紙，即剩下192．5％=7．5％的紙，為1350張．所以這批紙共有1350247。5％=180人，則男生有325180=145人．增加25人后為145+25=170人，所以現(xiàn)有男同學(xué)170人． 6．有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16塊水果糖后，奶糖就只占25％那么，這堆糖果中有奶糖多少塊? 【分析與解】方法一：原來奶糖占，后來占，因此后來的糖果數(shù)是奶糖的4倍，也比原來糖果多16粒，從而原來的糖果是16+( 1)=20塊.其中奶糖有20=9塊． 方法二：原來奶糖與其他糖(包含水果糖)之比是45％：(145％)=9：11, 設(shè)奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份． 現(xiàn)在奶糖與其他糖之比是25％：(125％)=1：3=9：27, 奶糖的份數(shù)不變，其他糖的份數(shù)增加了2711=16份，而其他糖也恰好增加了16塊，所以，l份即1塊．奶糖占9份，就是9塊奶糖． 7．甲乙兩包糖的重量比是4：l，如果從甲包取出10克放入乙包后，甲乙兩包糖的重量比變?yōu)?：5．那么兩包糖重量的總和是多少克? 【分析與解】兩包糖數(shù)量的總數(shù)是 克.8．有若干堆圍棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，且每堆中自子都占28％．小明從某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，現(xiàn)在，在所有的棋子中，白子將占32％．那么，共有棋子多少堆?【分析與解】 方法一：設(shè)有堆棋子，每堆有棋子“1”．根據(jù)拿走黑子白子總數(shù)不變．列方程得32％，化簡得28 =32()，兩邊同除以4，得7=8()，解得=4． 即共有棋子4堆． 方法二：注意到所有棋子中的白子個數(shù)前后不變，所以設(shè)白子數(shù)為“1”．那么有： ．黑子變化了，對應(yīng)為堆；所以對應(yīng)l堆．而開始共有棋子l+，所以共有堆．9．幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3，中班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為2：1，那么大班有女生多少名?【分析與解】設(shè)大班女生有名，則中班女生有(18)名．根據(jù)男生數(shù)可列出方程：+(18)=32，解得=12．所以大班有女生12名． 10．某校四年級原有2個班，現(xiàn)在要重新編為3個班，將原一班的號與原二班的丟組成新一班，將原一班的{與原二班的吉組成新二班，余下的30人組成新三班．如果新一班的人數(shù)比新二班的人數(shù)多10％，那么原一班有多少人? 【分析與解】 有新三班的為原一、二班總?cè)藬?shù)的1，為30人． 所以原來兩班總?cè)藬?shù)是：30247。(2+3)=44％． 12．某次數(shù)學(xué)競賽設(shè)一、二、三等獎．已知：①甲、乙兩校獲一等獎的人數(shù)相等：⑦甲校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分數(shù)與乙校相應(yīng)的百分數(shù)的比為5:6；③甲、乙兩校獲二等獎的人數(shù)總和占兩校獲獎人數(shù)總和的20％；④甲校獲三等獎的人數(shù)占該校獲獎人數(shù)的50％；⑤．那么，乙校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分數(shù)等于多少? 【分析與解】 表述1：不妨設(shè)甲校有60人獲獎，由①、②，乙校有50人獲獎． 由③知兩校獲二等獎的共有(60+50)20％=22人； 由⑤知甲校獲二等獎的有22247。：25％． 所以，后來每天經(jīng)營這種商品的總利潤比降價前增加了25％．15．贏利百分數(shù)=某電子產(chǎn)品去年按定價的80％出售，能獲得20％的贏利；由