【正文】 ．【解析】 除以6和9的余數(shù)分別不超過2，5，8，所以這三個(gè)余數(shù)的和永遠(yuǎn)不超過，既然它們的和等于15，所以這三個(gè)余數(shù)分別就是2，5，8．所以該數(shù)加1后能被3，6，9整除，而，設(shè)該數(shù)為，則，即（為非零自然數(shù)），所以它除以18的余數(shù)只能為17．【鞏固】 (2005年香港圣公會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)一個(gè)家庭，有父、母、兄、妹四人，他們?nèi)我馊说臍q數(shù)之和都是3的整數(shù)倍，每人的歲數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)，四人歲數(shù)之和是100，父親歲數(shù)最大，問：母親是多少歲? 【解析】 從任意三人歲數(shù)之和是3的倍數(shù)，100除以3余1，就知四個(gè)歲數(shù)都是型的數(shù)，又是質(zhì)數(shù)．只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43歲，母37歲，兄13歲，妹7歲．【例 16】 (華杯賽試題)如圖，在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔(不到100個(gè))，小明像玩跳棋那樣，從孔出發(fā)沿著逆時(shí)針方向，每隔幾孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳到B孔．他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔嗎? 【解析】 設(shè)想圓圈上的孔已按下面方式編了號(hào)：A孔編號(hào)為1，然后沿逆時(shí)針方向順次編號(hào) 為2，3，4，…，B孔的編號(hào)就是圓圈上的孔數(shù)．我們先看每隔2孔跳一步時(shí)，小明跳在哪些孔上?很容易看出應(yīng)在1，4，7，10，…上，也就是說， 小明跳到的孔上的編號(hào)是3的倍數(shù)加1．按題意，小明最后跳到B孔，因此總孔數(shù)是3的倍數(shù)加1．同樣道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味著總孔數(shù)是5的倍數(shù)加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味著總孔數(shù)是7的倍數(shù)．如果將孔數(shù)減1，那么得數(shù)既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，因而是15的倍數(shù)．這個(gè)15的倍數(shù)加上1 就等于孔數(shù)，設(shè)孔數(shù)為，則（為非零自然數(shù)）而且能被7整除．注意15被7除余1，所以被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我們還可以看出，15的其他(小于的7)倍數(shù)加1都不能被7整除，而已經(jīng)大于100．7以上的倍數(shù)都不必考慮，因此，總孔數(shù)只能是．【鞏固】 (1997年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)將依次寫到第1997個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)1997位數(shù)，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是 ________．【解析】 本題第一步是要求出第1997個(gè)數(shù)字是什么，再對(duì)數(shù)字求和．共有9個(gè)數(shù)字，共有90個(gè)兩位數(shù)，共有數(shù)字： (個(gè)), 共900個(gè)三位數(shù)，共有數(shù)字： (個(gè)),所以數(shù)連續(xù)寫，不會(huì)寫到999,從100開始是3位數(shù)，每三個(gè)數(shù)字表示一個(gè)數(shù)，即有602個(gè)三位數(shù)，第603個(gè)三位數(shù)只寫了它的百位和十位．從100開始的第602個(gè)三位數(shù)是701，第603個(gè)三位數(shù)是9，其中2未寫出來．因?yàn)檫B續(xù)9個(gè)自然數(shù)之和能被9整除，所以排列起來的9個(gè)自然數(shù)也能被9整除，702個(gè)數(shù)能分成的組數(shù)是： (組)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未寫出來，所以余數(shù)為．【例 17】 設(shè)是質(zhì)數(shù)，證明：，…，被除所得的余數(shù)各不相同．【解析】 假設(shè)有兩個(gè)數(shù)、()，它們的平方，被除余數(shù)相同．那么，由同余定理得，即，由于是質(zhì)數(shù)，所以或，由于，均小于且大于0，可知，與互質(zhì)，也與互質(zhì)，即，都不能被整除，產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立，原題得證．【鞏固】 試求不大于100，且使能被11整除的所有自然數(shù)n的和．【解析】 通過逐次計(jì)算，可以求出被11除的余數(shù)，依次為：為3，為9，為5，為4，為1，…，因而被11除的余數(shù)5個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；類似地，可以求出被11除的余數(shù)10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；于是被11除的余數(shù)也是10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……；這就表明，每一個(gè)周期中，只有第6個(gè)這三個(gè)數(shù)滿足題意，即時(shí)能被11整除，所以，所有滿足條件的自然數(shù)n的和為：．【鞏固】 若為自然數(shù)，證明．【解析】 ，由于與的奇偶性相同，所以．，如果能被5整除，那么；如果不能被5整除，那么被5除的余數(shù)為3或者4，被5除的余數(shù)為、被5除的余數(shù)，即為18256被5除的余數(shù)，而這四個(gè)數(shù)除以5均余1，所以不管為多少，被5除的余數(shù)為1，而，即14個(gè)相乘，所以除以5均余1，則能被5整除，有．所以．由于2與5互質(zhì)，所以．【例 18】 設(shè)n為正整數(shù)，k被7除余數(shù)為2，k被11除余數(shù)為3，求n的最小值．【解析】 2004被7除余數(shù)為2，被11除余數(shù)也為2，所以被7除余數(shù)為2，被11除余數(shù)為3．由于被7除余2，而被7除余1，所以n除以3的余數(shù)為1；由于被11除余3，被11除余1，所以n除以10的余數(shù)為8．可見是3和10的公倍數(shù)，最小為，所以n的最小值為28．【鞏固】 有三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中最小的能被15整除，中間的能被17整除，最大的能被19整除，請(qǐng)寫出一組這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù)．【解析】 設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè)為n，則其余兩個(gè)自然數(shù)分別為，．依題意可知：，根據(jù)整除的性質(zhì)對(duì)這三個(gè)算式進(jìn)行變換：從上面可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)為1119的公倍數(shù)．由于，所以 (因?yàn)槭瞧鏀?shù))，可得．當(dāng)時(shí)，所以其中的一組自然數(shù)為242432432．【例 19】 (2008年西城實(shí)驗(yàn)考題)從1，2，3，……，n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，則n的最大值為多少？【解析】 被13除的同余序列當(dāng)中，如余1的同余序列，12566……，其中只要取到兩個(gè)相鄰的，這兩個(gè)數(shù)的差為13；如果沒有兩個(gè)相鄰的數(shù)，則沒有兩個(gè)數(shù)的差為13，不同的同余序列當(dāng)中不可能有兩個(gè)數(shù)的差為13，對(duì)于任意一條長(zhǎng)度為x的序列，都最多能取個(gè)數(shù)，使得取出的數(shù)中沒有兩個(gè)數(shù)的差為13，即從第1個(gè)數(shù)起隔1個(gè)取1個(gè)．基于以上，n個(gè)數(shù)分成13個(gè)序列，每條序列的長(zhǎng)度為或，兩個(gè)長(zhǎng)度差為1的序列，要使取出的數(shù)中沒有兩個(gè)數(shù)的差為13，能夠被取得的數(shù)的個(gè)數(shù)之差也不會(huì)超過1，所以為使57個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不等于13，則這57個(gè)數(shù)被分配在13條序列中，在每條序列被分配的數(shù)的個(gè)數(shù)差不會(huì)超過1，那么13個(gè)序列有8個(gè)序列分配了4個(gè)數(shù)，5個(gè)序列分配了5個(gè)數(shù)，則這13個(gè)序列中8個(gè)長(zhǎng)度為8，5個(gè)長(zhǎng)度為9，那么當(dāng)n最小為時(shí)，可以取出57個(gè)數(shù)，其中任兩個(gè)數(shù)的差不為13，所以要使任取57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，那么n的最大值為108．【鞏固】 從1，2，3，4，…，2007中取N個(gè)不同的數(shù)，取出的數(shù)中任意三個(gè)的和能被15整除．N最大為多少？【解析】 取出的N個(gè)不同的數(shù)中，任意三個(gè)的和能被15整除，則其中任意兩個(gè)數(shù)除以15的余數(shù)相同，且這個(gè)余數(shù)的3倍能被15整除，所以這個(gè)余數(shù)只能是0，5或者10．在中，除以15的余數(shù)為0的有，…，共有個(gè)；除以15的余數(shù)為5的有，…，共有134個(gè)；除以15的余數(shù)為10的有，…，共有134個(gè)．所以N最大為134．【例 20】 將自然數(shù)1，2，3，4……依次寫下去，若最終寫到2000，成為，那么這個(gè)自然數(shù)除以99余幾？【解析】 由于，可以分別求這個(gè)數(shù)除以9和11的余數(shù)，進(jìn)而求出它除以99的余數(shù)．實(shí)際上求得這個(gè)數(shù)除以9和11的余數(shù)均為3，所以這個(gè)數(shù)減去3后是9和11的倍數(shù)，那么也是99的倍數(shù)，所以這個(gè)數(shù)除以99的余數(shù)為3．下面介紹另一種解法．由于，所以除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)．同樣，……等數(shù)除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)．可知，一個(gè)自然數(shù)，如果在它后面加上偶數(shù)個(gè)0，那么這個(gè)數(shù)除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)．根據(jù)這一點(diǎn)，可以把分成若干個(gè)后面帶有偶數(shù)個(gè)0的數(shù)之和．由于的位數(shù)是奇數(shù)，那么對(duì)于組成的一位數(shù)1，2，3，……，9，可以分成，；對(duì)于其中的兩位數(shù)10，11，12，……，98，99，可以分成，……，；對(duì)于其中的三位數(shù)100，101，102，103，……，998，999，兩兩一組，可以分成，……，；對(duì)于其中的四位數(shù)1000，1001，……，1999，2000，可以分成，……，2000．那么上面分成的所有數(shù)中，雖然每個(gè)數(shù)后面的0的個(gè)數(shù)互不相同，但都是偶數(shù)個(gè)，且它們的和恰好為，那么除以99的余數(shù)就等于分成的這些數(shù)除以99的余數(shù)的和．由于這些數(shù)除以99的余數(shù)分別為1，23，45，67，89；10，11，12，……，98，99；100101，102103，104105，……，998999；1000，1001，……，1999，2000，而其中100101，102103，104105，……，998999是公差為2002的等差數(shù)列，共450項(xiàng)，可知所有這些余數(shù)的和為： ，而248804130除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)，為3．所以除以99的余數(shù)為3．【鞏固】 將1至2008這2008個(gè)自然數(shù)，按從小到大的次序依次寫出，得一個(gè)多位數(shù)：12345678910111213200720