【文章內(nèi)容簡介】 (f)bXa(P ＝ 若 f (x) 在點(diǎn) x 處連續(xù) , 則有 ? ?4( ) ( ) .F x f x? ?例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 ,求 f(x) ??????????0211021)(xexexFxx（ 5） 對(duì)任意實(shí)數(shù) a，若 X的密度函數(shù)為 f(x) 這是因?yàn)? ? ? ? ? ? ? ? ?xaFaFaXxaPaXP ???????????0? ? X a??(?x?), 則 0,x? ? ?當(dāng) 時(shí) 得到 ? ? X a??對(duì) f(x)的進(jìn)一步理解 : 若 x 是 f(x) 的連續(xù)點(diǎn)，則 ? ? ? ? ? ?0limxF x x F xfxx???? ? ???? ?0limxP x X x xx???? ? ? ??? 故 X的密度 f(x) 在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是 X 落 在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極 限 . 這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x) 相當(dāng)于線密度 . x?],( xxx ??若不計(jì)高階無窮小，有 xxfxxXxP ?? )(}{ ????表示隨機(jī)變量 X 取值于 的概率近似等于 . ],( xxx ??xxf ?)(xxf ?)(在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與 kk pxXP ?? )(在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用 相類似 . ? ?( ) ,F x P X x x? ? ? ? ? ? ?注意分布函數(shù)的定義適用于任意的隨機(jī)變量。 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… 則其分布函數(shù) F(x) = P(X x) = ??xxkkp?其中求和是對(duì)所有滿足 時(shí) 相應(yīng)的概率 求和。 kxx? kx kp分布律 ? ? ? ?xF x f t dt??? ?? ?P X x??其分布函數(shù) 是連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度函數(shù)。 ? ?fx 單調(diào)不減性 ：對(duì)于任意 x1x2, 有 F(x1)?F(x2)。 歸一 性 ：對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 0?F(x)?1，且 。1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(F xx ???????? ?????? 右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù) x， ).x(F)x(Fl i m)0x(F 0xx00??? ??連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在 R上連續(xù) 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是右連續(xù) (1) 非負(fù)性 f(x)?0， (?x?)； (2)歸一性 .1)( ＝????? dxxf(3)對(duì)于任意實(shí)數(shù) , 2112{ } ( )xxP x X x f x d x? ? ? ?(4)若 f (x) 在點(diǎn) x 處連續(xù) , 則有 ( ) ( ) .F x f x? ?? ?1 2 1 2,x x x x?（ 5） 對(duì)任意實(shí)數(shù) a，若 X的密度函數(shù)為 f(x) ? ? X a??(?x?), 則 ? ? ? ?P a X b P a X b? ? ? ? ?? ? ? ?P a X b P a X b? ? ? ? ? ?? ?ba f x d x? ?? ? ? ?F b F a?? X的分布函數(shù)為 F(x)，下列結(jié)論不一定成立的是 ( ). ? ?? ?.1.0 1AFC F x?? ???? ?? ?.0.BFD F x?? ?為連續(xù)函數(shù) X的概率密度為 ? ? 2 , 100 , 10a xfx xx? ????? ??則常數(shù) a= 。 . 10A ? 1.500B ?1.500C.10DD D 練習(xí) X的概率密度為 ? ?, 0 220,xxfx? ???? ??? 其 他則 = 。 ? ?11Px? ? ?.0A . . .1D X為連續(xù)型隨機(jī)變量， c是一個(gè)常數(shù)，則 = 。 ? ?P X c? X的分布函數(shù)為 ? ?21 , 00 , 0xexFxx?? ??? ???其概率密度為 ，則 = 。 ? ?fx ? ?1f 22e?0B 例 3 設(shè)某種型號(hào)電子元件的壽命 X(以小時(shí)計(jì) )具有以下的 概率密度 ? ? 21000, 1 0 0 00,xfx x? ?????? 其他 現(xiàn)有一大批此種元件 (設(shè)個(gè)元件工作相互獨(dú)立 )，問 (1)任取 1個(gè)，其壽命大于 1500小時(shí)的概率是多少？ (2)任取 4個(gè)， 4個(gè)元件中恰有 2個(gè)元件的壽命大于 1500小時(shí) 的概率是多少？ (3)任取 4個(gè)， 4個(gè)元件中至少有 1個(gè)元件的壽命大于 1500小時(shí) 的概率是多少？ 解 (1) ? ? ? ?1 5 0 0 1 1 5 0 0P X P X? ? ? ?1 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 022 10001 0 0 0 1 0 0 01 1 0d x d x d xxx? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ?150010001 0 0 0 213x??? ? ? ?????(2)各元件工作相互獨(dú)立，可看作 4重貝努利試驗(yàn)，觀測(cè) 各元件的壽命是否大于 1500小時(shí)，令 Y表示 4個(gè)元件中 壽命大于 1500小時(shí)的元件個(gè)數(shù)，則 ,所求 概率為 2~ 4 ,3YB??????? ?22242 1 823 3 2 7P Y C? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(3)所求概率為 ? ? ? ?04042 1 8 01 1 0 13 3 8 1P Y P Y C? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?二、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量 1. 均勻分布 若 隨機(jī)變量 X的概率密度為： 1,()0,a x bfx ba????? ???? 其 它則稱 X在區(qū)間 [ a, b]上服從均勻分布 ， X ～ U(a, b) 記作 )(xfa bUniform distribution ? ?abldxablcXcPblccalcclbaUXlcc???????????????1,),(.1),(~有為的區(qū)間對(duì)于長度若例 設(shè)隨機(jī)變量 ，則 = 。 ? ?~ 2 , 4XU ? ?34PX??? ?? ?. 2 .2 5 3 .2 5. 3 .5 4 .5A P XC P X????? ?? ?. . B P XD P X????A ? ??????????????????bxbxaabaxaxxXPxFX1,0)(.2 的分布函數(shù)為：均勻分布常見于下列情形： 如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差； 公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等 . 例 1 公共汽車站每隔 5分鐘有一輛汽車通過，乘客在 5分鐘 內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)汽車站是等可能的，求乘客候車時(shí)間在 分鐘內(nèi)的概率。 1~ 3解 設(shè) X表示乘客的候車時(shí)間，則 ，其概率密度為 ? ?~ 0 , 5XU? ?1, 0 550,xfx? ???? ??? 其 他所求概率為 ? ? 3 1 213 5 0 5PX ?? ? ? ??例 2 設(shè) X?U(2,5)，現(xiàn)在對(duì) X進(jìn)行 3次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次 觀測(cè)值大于 3的概率。 解 設(shè) Y表示 3次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于 3的次數(shù)，則 Y?B(3,p), 其中 p=P{X3}. 由 X?U(2,5) 5 3 25 2 3p ????則所求概率為 ? ? ? ? ? ?2 2 3P Y P Y P Y? ? ? ? ?2 1 3 023332 1 2 1 2 03 3 3 3 2 7CC? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?例 3 已知隨機(jī)變量 X在 上服從均勻分布，現(xiàn)有方程 ? ?3, 3?24 4 2 Xy X? ? ? ?(1)求方程有實(shí)根的概率； (2)求方程有重根的概率； (3)求方程沒有實(shí)根的概率。 解 已知 X在 上服從均勻分布，即 X是連續(xù)型隨機(jī)變量， 概率密度函數(shù)為 ? ?3, 3?? ?1 , 3 360,xfx? ? ? ??? ??? 其 他判別式為 ? ? ? ?22 4 4 4 4 2b a c X X? ? ? ? ? ? ? ?21 6 1 6 3 2XX??? ? ? ? ? ?21 6 2 1 6 2 1X X X X? ? ? ? ? ?1, 0 ,2 , 0 ,3 , 0 ,??????2 1 。XX? ? ?則 有 或2 1 。XX? ? ?則 有 或1 2 .X? ? ?則 有(1)方程有實(shí)根的概率為 ? ? ? ?21P X P X? ? ? ?31231166dx dx??????1 2 1 .6 6 2? ? ?? ?1 , 3 360,xfx? ? ? ??? ??? 其 他24 4 2 Xy X? ? ? ?? ?1 , 3 360,xfx? ? ? ??? ??? 其 他(2)因?yàn)?X為連續(xù)型隨機(jī)變量，所以方程有重根的概率為 ? ? ? ?2 1 0 0 0P X P X? ? ? ? ? ? ?(3)方程無實(shí)根的概率為 ? ? 12 1 3 112 6 6 2P X d x?? ? ? ? ? ??2. 指數(shù)分布 ?????? ??0x,00x,e)x(f x＝則稱 X服從參數(shù)為 ?的指數(shù)分布 ,簡記 )x(fx0?????? ?0,00,1)(xxexFx?＝Exponential distribution 定義 若隨機(jī)變量 X的概率密度為 其中 為常數(shù)， 0? ?為 ， 其分布函數(shù)為 ? ?~XE ?例 1 隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 ，試計(jì)算 (1)X取值大于 100的概率； (2)若要求 ，問 x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ ? ? 0 .1P X x??解 X的概率密度函數(shù)為 ? ? .0 1 5 , 00 , 0xexfxx?? ?? ???(1) ? ? ? ? ? ?100100 1 100 1P X P X f x dx??? ? ? ? ? ? ?100 0 . 0 1 501 0 . 0 1 5xe d x??? ?0. 015 1. 5100 xe dx e?? ??? ? ??(2)若要求 ，即 ? ? 0 .1P X x??0 . 0 1 50 . 0 1 5 0 . 1xx e d x?? ? ??積分有 0 . 0 1 5 0 . 1xe ? ?得 1 5 3 .5x ?例 .電子元件的壽命 X(年）服從參數(shù)為 3的指數(shù)分布 (1)求該電子元件壽命超過 2年的概率。 (2)已知該電子元件已使用了 ，求它還能使用兩年的概率為多少？ 解 330()0 0 ,xexfxx?? ?? ???,.3}2{)1( 623 ???? ??? edxeXp x63333}{},{}|{)2(???????????????edxedxeXXXpXXpx