【文章內(nèi)容簡介】 tttpttp nnnnnnnn ????????????? ???? ????ttotptptpttpttpnnnnnnnnn ???????????????)()()()()()()(1111 ????令 0?? t ，得關(guān)于 )( tp n 的微分方程 )()()()()( 1111 tptptpdt tdp nnnnnnnn ???? ???? ???? （ 9 12 ） 當(dāng) 0?n 時，則只有表 9 2 中 A ， B 兩種情況，即 ttpttpttp ??????? 11000 )()1)(()( ?? 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時間的分布 令 0?? t ，得關(guān)于 )(0 tp 的微分方程 )()()(11000 tptpdttdp ?? ??? （ 9 13 ） 由式（ 9 12 ）和式（ 9 13 ），得到生滅過程的微分方程組 )()()()()(1111 tptptpdttdpnnnnnnnn???? ???? ???? )0( ?n )()()(11000 tptpdttdp?? ??? )0( ?n 當(dāng) ??t 時，若極限分布存在，可認(rèn)為 )( tp n 與時間無關(guān)，即 nntptp ???)(li m 則 nP 對時間的變化率為零，即 0)(l im ??? dttdp nt 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時間的分布 因此，可以得到如下的差分方程組（ Dif f ere n ce E q uat ion s ） 0)( 1111 ???? ???? nnnnnnn ppp ???? )0( ?n 01100 ??? pp ?? )0( ?n 由方程組中第二個式子，有 0101 pp ??? ，代入方程組中第一個式子，得 02110200010112001112))(()( pppppp?????????????? ???????03212103 pp ???????? 021110 ppnnn ???????? ?? （ ?,2,1,0?n ） （ 9 14 ） 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時間的分布 再由條件 10????nnp ，有 1102111000??????????? ??????? n nnnnppp????????，故 ??????????????1 21110011n nnp???????? （ 9 15 ） 利用上述討論所得結(jié)果式（ 914）、式（ 915），可以求解多種隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時間的分布 ?小結(jié) ?泊松流 當(dāng) ),(21ttpn符合下列三個條件時，我們說顧客的到達(dá)形成泊松流 ： 1 ）在不相重疊的時間區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)是相互獨立的 ； 2 ）對充分小的 t? ，在時間區(qū)間 ),[ ttt ?? 內(nèi)有一個顧客到達(dá)的概率與 t 無關(guān)，而約與區(qū)間長 t? 成正比，即 )(),(1tottttp ?????? ? ； 3 ）對充分小的 t? ，在時間區(qū)間 ),[ ttt ?? 內(nèi)有二個或二個以上顧客到達(dá)的概率極小，以致可以忽略，即 )(),(2totttpnn???????。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 ? 生滅過程 ? 負(fù)指數(shù)分布 到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時間的分布 隨機(jī)變量 T 的概率密度若是 ?????? ?0,00,)(ttetf tT?? ， 則稱 T 服從負(fù)指數(shù)分布。 生滅過程描述系統(tǒng)消長生滅的隨機(jī)過程，是排隊論研究的重要數(shù)學(xué)工具。 生滅過程的微分方程組： )()()()()(1111 tptptpdttdpnnnnnnnn ???? ???? ???? )0( ?n )()()(11000 tptpdttdp ?? ??? )0( ?n 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時間的分布 生滅過程的差分方程組： 0)( 1111 ???? ???? nnnnnnn ppp ???? )0( ?n 01100 ??? pp ?? )0( ?n 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時間的分布 ? 作業(yè) ?什么是負(fù)指數(shù)分布？什么是愛爾朗分布？ ?簡述生滅過程的微分方程組和差分方程組。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ? 單隊 —— 單服務(wù)臺系統(tǒng)模型分析 ? 多服務(wù)臺系統(tǒng)模型分析 ? 非負(fù)指數(shù)分布排隊系統(tǒng)模型簡介 ? 小結(jié) ? 作業(yè) 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ? 單隊 —— 單服務(wù)臺系統(tǒng)模型分析 1. 標(biāo)準(zhǔn)的單隊 —— 單服務(wù)臺系統(tǒng)模型 M/M/1 標(biāo)準(zhǔn)的 M/M/1模型是指適合下列條件的排隊系統(tǒng) 1 ）顧客源是無限的，顧客單個到來，相互獨立，一定時間的到達(dá)數(shù)服從泊松分布，到達(dá)過程也是平穩(wěn)的，平均到達(dá)率 ? 。 2 ）排隊規(guī)則是單隊（即一次到達(dá)一個），且對隊長沒有限制，先到先服務(wù)。 3 ）服務(wù)機(jī)構(gòu)為單服務(wù)臺，各顧客的服務(wù)時間是互相獨立的，服從相同的負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)率 ? 。 4 ）平均到達(dá)率 ? 小于平均服務(wù)率 ? ， ?? ? 。 此外，還假定到達(dá)間隔時間和服務(wù)時間是相互獨立的。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 標(biāo)準(zhǔn) M/M/1的模型的分析步驟是 1 ）建立系統(tǒng)的狀態(tài)概率方程，求狀態(tài)概率。 2 ）求系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值（以 ? 、 ? 表示）。 3 ）計算系統(tǒng)的其它數(shù)量指標(biāo)。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 從生滅過程的討論中可知，在上述條件下 1MM 模型的 狀態(tài)概率有穩(wěn)定狀態(tài)方程 0)(1111 ???? ???? nnnnnnn ppp ???? )0( ?n 01100 ??? pp ?? )0( ?n 因為條件中已假定平均到達(dá)率 ? 和平均服務(wù)率 ? 均為常數(shù)，即 ?? ?n ， ?? ?n ，從式（ 9 14 ）可得 0021110 pppnnnn ?????????? ???????????021 110 pp nnn ??? ??? ?? ?? （ ?,2,1,0?n ） （ 9 14 ） 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 今設(shè) 1?????（否則隊列將排至無限遠(yuǎn)），又由概率的性質(zhì)知 10 ????n np，故 11 1 0000000 ????????????????????????????? ??? ??????ppppnnnnnn??????從而得到狀態(tài)概率 )1()1()1(10??????nppnn ???? （ 9 16 ） 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 下面，在已知系統(tǒng)狀態(tài)概率的基礎(chǔ)上，求其運行的基本數(shù)量指標(biāo)： 1)平均隊長（系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)） ???? ????? ?? ???? 1)1(10 n nn ns nnPL（ 10 ?? ? ） 即 ????????? 1sL山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2）平均隊列長（隊列中等待的平均顧客數(shù)） )(1)1(22111 ????????????????? ?????????snnnnnnq LPnPPnL )(2????? 3 ） 在一段長時間 T 內(nèi)，平均顧客到達(dá)數(shù)為 T? 。隊列中的平均顧客數(shù)為 qL ，則總的等待時間為 TL q 。 平均等候時間 為 )()1(2????????? ??????qqqLTTLW山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 4）平均逗留時間 ???????? ???????11)(1qs WW5）服務(wù)機(jī)構(gòu)的空閑率 ??? 10p服務(wù)機(jī)構(gòu)的利用率 ??? ?山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 可將標(biāo)準(zhǔn)的 M/M/1模型的主要運行指標(biāo)歸納如下 )(,)(1,2?????????????????????qqssWLWL （ 9 17 ） 它們的相互關(guān)系為 ???????????qsqsqqssLLWWWLWL,1, （ 9 18 ） 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 9 1 某商店共設(shè)收款口 10 個，顧客到收款口付款平均每小時 90 人，每個收款員的服務(wù)率平均為每小時 12 人，試按標(biāo)準(zhǔn)的 1MM 模型計算排隊系統(tǒng)的主要指標(biāo)。 解 每個收款口的平均到達(dá)率 91090 ??? 人 ∕ h ，平均服務(wù)率 12?? 人 ∕ h 。 按式（ 917）、式（ 918）有 （ 1）系統(tǒng)中平均隊長 912 9???? ?? ?sL人 3? 人 （ 2）平均隊列長 )912(12 9)(22???? ??? ?qL人 ? 人 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 （ 3）平均逗留時間 912 11 ???? ??sWh ? h （ 4）平均等候時間 )912(12 9)( ???? ??? ?qWh ? h （ 5）服務(wù)機(jī)構(gòu)利用率 ??? ???（ 6）顧客到達(dá)后立即接受服務(wù)的概率 ????? ?p山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2. 系統(tǒng)容量有限時的單隊 —— 單服務(wù)臺系統(tǒng)模型 M/M/1（ N） 如果系統(tǒng)的最大容量為 N ，對于單服務(wù)臺的情形，隊列中顧客數(shù)（即排隊等待的顧客數(shù)）最多為 1?N ，在某一時刻顧客到達(dá)時，如系統(tǒng)中已有 N 個顧客，那么這個顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)（見圖 9 6 ）。 顧客 隊列 服務(wù)臺 N ? 3 2 1 被拒絕 圖 9 6 容量有限時的單隊 —— 單服務(wù)臺系統(tǒng)模型 因系統(tǒng)最大容量有限，不允許隊列無限增加，故 無需 ?? ? 。 其它條件同標(biāo)準(zhǔn)的 1MM 模型 。 當(dāng) 1?N 時，該模型為即時制情形；當(dāng) ??N 時，該模型為容量無限制情形。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 模型 1MM （ N ）的穩(wěn)定狀態(tài)方程為 )(0),3,2,1(0)(01111111100Nnpp