【文章內(nèi)容簡介】 ? 各個(gè)變量值與其平均數(shù)離差平方之和為最小值 ? ? 0xx ???? ? 最小值??? 2xx0f)xx( ???? ? 最小值??? fxx 2xx ?0設(shè) cxx ??0? ?? ?22222220)()(2)()()()(ncxxncxxcxxcxxcxxxx?????????????????????為最小值22202)()()(0?? ????????xxxxxxnc?統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 性質(zhì) ( 4） ? 給每個(gè)變量值增加或減少一個(gè)任意數(shù) A，則算術(shù)平均數(shù)也相應(yīng)增增加或減少這個(gè)任意數(shù) A。 ? 給每個(gè)變量值乘以或除以一個(gè)任意數(shù) A，則算術(shù)平均數(shù)也相應(yīng)擴(kuò)大或縮小 A倍。 ? ? AxnAx ???? ? ? AxffAx ?????xAnAx ?? xA1nAx??xAfAxf ??? xA1ffAx???統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) （四）算術(shù)平均數(shù)的適用范圍 ? 當(dāng)變量值是絕對數(shù)時(shí)，變量值之間是和的關(guān)系，而且已知的是分母資料，在這種情況下，反映現(xiàn)象的平均水平用 算術(shù)平均數(shù) 。 ? 當(dāng)變量值是相對數(shù)或平均數(shù)時(shí)，變量值之間既不存在和的關(guān)系，也不存在相乘的關(guān)系，而且已知的是分母資料，在這種情況下，反映現(xiàn)象的平均水平用 算術(shù)平均數(shù) 。 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 二、調(diào)和平均數(shù)（ H） ? (一 )簡單調(diào)和平均數(shù) ? 計(jì)算公式 : ? 應(yīng)用條件：資料未分組，各個(gè)變量值次數(shù)都是 1。 ? 舉例 :一個(gè)人步行兩里，走第一里時(shí)速度為每小時(shí)候 10里，走第二里時(shí)為每小時(shí) 20里，則平均速度為： ??????????x1x1x1x1x1nnHn321)(31132201101 小時(shí)里??統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) （二）加權(quán)調(diào)和平均數(shù) ? 計(jì)算公式： ? 應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。 ? 例 1： ?????????????????xmnn3322xmn321 mxmxmxmmmmmH11速度 x 行走里程 m 所需時(shí)間 20 1 15 2 10 3 合計(jì) 6 )( 小時(shí)里xm201152103103152201 ??)(2912126103152201小時(shí)里平均速度????統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 例 2 按日產(chǎn)量分組（件） x 日產(chǎn)總量 m 工人數(shù)（人） 14 28 2 15 60 4 16 128 8 17 85 5 18 18 1 合計(jì) 319 20 xm已 知 )(16203 1 9件平均日產(chǎn)量??某車間工人加工某種零件資料： 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 例 3 ? 某局所屬的三個(gè)企業(yè)的資料： ? 企業(yè) 產(chǎn)值計(jì)劃完成 % x 計(jì)劃產(chǎn)值（萬元） 實(shí)際產(chǎn)值（萬元） m 甲 95 300 285 乙 105 900 945 丙 115 300 345 合 計(jì) — 1500 1575 xm已知 已知 %1051 5 0 01 5 7 5)()m(%xm?????計(jì)劃產(chǎn)值實(shí)際產(chǎn)值平均計(jì)劃完成統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 例 4 ? 某車間各班組工人勞動生產(chǎn)率資料 : 班 組 平均勞動生產(chǎn)率 x 實(shí)際工時(shí) 產(chǎn)品產(chǎn)量 (件 ) m 一 10 100 1000 二 12 200 2400 三 15 300 4500 四 20 300 6000 五 30 200 6000 合計(jì) — 1100 19900 xm)(110019900)xm()m(工時(shí)件車間實(shí)際工時(shí)車間產(chǎn)品產(chǎn)量平均勞動生產(chǎn)率?????統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) （三）調(diào)和平均數(shù)的適用范圍 ? 當(dāng)變量值是 絕對數(shù) 時(shí)，變量值之間是和的關(guān)系，而且已知的是分子資料，在這種情況下，反映現(xiàn)象的平均水平用調(diào)和平均數(shù)。 ? 當(dāng)變量值是 相對數(shù)或平均數(shù) 時(shí)，變量值之間既不存在和的關(guān)系，也不存在相乘的關(guān)系，而且已知的是分子資料，在這種情況下，反映現(xiàn)象的平均水平用調(diào)和平均數(shù)。 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 三、幾何平均數(shù)（ G） ? （一）簡單幾何平均數(shù) ? 計(jì)算公式： ? 應(yīng)用條件：資料未分組（各變量值次數(shù)都是 1）。 ? 舉例： 某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需經(jīng)過三個(gè)連續(xù)作業(yè)車間才能完成。 nn n321 xxxxxG ??????車間 投入量 產(chǎn)出量 合格率 % x 一 1000 800 80 二 800 720 90 三 720 504 70 33 %450%70%90%80 ?????三個(gè)車間平均合格率1 0 0 05 0 47 2 05 0 48 0 07 2 01 0 0 08 0 0%70%90%80??????統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 幾何平均數(shù) 1. n 個(gè)變量值乘積的 n 次方根 2. 適用于對比率數(shù)據(jù)的平均 3. 主要用于計(jì)算平均增長率 4. 計(jì)算公式為 5. 可看作是均值的一種變形 nniinnm xxxxG ???????121 ?nxxxxnGniinm??????? 121lg)lglg( lg1lg ?統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 幾何平均數(shù) (例題分析 ) ? 【 例 】 某水泥生產(chǎn)企業(yè) 1999年的水泥產(chǎn)量為100萬噸 ， 2022年與 1999年相比增長率為 9%，2022年與 2022年相比增長率為 16%， 2022年與2022年相比增長率為 20%。 求各年的年平均增長率 。 % 14%1 20%1 16%1 09321???????? nnxxxG ?年平均增長率＝ %1=% 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 幾何平均數(shù) (例題分析 ) 【 例 】 一位投資者購持有一種股票 ， 在 202 2022022和 2022年收益率分別為 %、 %、 %、%。 計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率 %07 8 1%%%%??????G算術(shù)平均： ? ? %%%%% ??????G 幾何平均： 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) （二）加權(quán)幾何平均數(shù) ? 計(jì)算公式 ： ? 應(yīng)用條件 ：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。 ? ?? ????? f ff fnf3f2f1 xxxxxG n321統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) （二）加權(quán)幾何平均數(shù) 年份 累計(jì)存款額 本利率 % 第 1年 105% 第 2年 105% 第 3年 108% ? ? ? 第 10年 112% %105%5 000 xxx ??2022 %1 0 5%5%1 0 5%1 0 5 xxx ??%1 0 8%1 0 5%8%1 0 5%1 0 5 202020 xxx ??23320 %112%110%108%105x? 舉例 ：將一筆錢存入銀行，存期 10年，以復(fù)利計(jì)息， 10年的利率分配是第 1年至第 2年為 5%、第 3年至 5年為 8%、第 6年至第 8年為 10%、第 9年至第 10年 12%，計(jì)算平均年利率。設(shè)本金為 0x統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) %77108%112%110%108%10510 2332??????平均本利率本利率 x 年數(shù) f 105% 2 108% 3 110% 3 112% 2 合 計(jì) 10 ?平均年利率 =% 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) (三 )幾何平均數(shù)的適用范圍 ? 當(dāng)變量值是 相對數(shù) ，而且變量值之間存在 連乘關(guān)系 ，反映現(xiàn)象的一般水平用 幾何平均數(shù) 。 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 眾數(shù) (Mo) 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 眾數(shù) 1. 出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值 2. 不受極端值的影響 3. 一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù) 4. 主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù) 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 眾數(shù) (不唯一性 ) ?無眾數(shù) 原始數(shù)據(jù) :10 5 9 12 6 8 一個(gè)眾數(shù) 原始數(shù)據(jù) :6 5 9 8 5 5 多于一個(gè)眾數(shù) 原始數(shù)據(jù) :25 28 28 36 42 42 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 分類數(shù)據(jù)的眾數(shù) (例題分析 ) 不同品牌飲料的頻數(shù)分布 飲料品牌 頻數(shù) 比例 百分比 (%) 可口可樂 旭日升冰茶 百事可樂 匯源果汁 露露 15 11 9 6 9 30 22 18 12 18 合計(jì) 50 1 100 解 ：這里的變量為 “ 飲料品牌 ” ， 這是個(gè)分類變量， 不同類型的飲料就是變量值 在所調(diào)查的 50人中， 購買可口可樂的人數(shù)最多 ， 為 15人 ， 占總被調(diào)查人數(shù)的 30%， 因此眾數(shù)為“ 可口可樂 ” 這一品牌 ，即 Mo＝可口可樂 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 順序數(shù)據(jù)的眾數(shù) (例題分析 ) 解 ：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù) 。 變量為“ 回答類別 ” 甲城市中對住房表示不滿意的戶數(shù)最多 ， 為 108戶， 因此眾數(shù)為 “ 不滿意 ” 這一類別 ，即 Mo＝不滿意 甲城市家庭對住房狀況評價(jià)的頻數(shù)分布 回答類別 甲城市 戶數(shù) (戶 ) 百分比 (%) 非常不滿意 不滿意 一般 滿意 非常滿意 24 108 93 45 30 8 36 31 15 10 合計(jì) 300 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 概 論 中南大學(xué) 數(shù)值型數(shù)據(jù)的眾數(shù) (例題分析 ) ? （一）由未分組資料確定眾數(shù) ? 例： 7名工人日產(chǎn)量（件）為 8。則眾數(shù)是 6。 ? （二）由單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù) ?