[財(cái)務(wù)管理]第十章因子分析(編輯修改稿)
2025-02-15 18:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 原始變量的第 第2…第 p個(gè)主成分。其中第一個(gè)主成分在總方差中所占比例最大，其余主成分在總方差中所占比例依次遞減，即主成分綜合原始變量的能力依次減弱。在主成份的實(shí)際應(yīng)用中，一般只選取前面幾個(gè)主成分即可，這樣既減少了變量的數(shù)目，又能夠用較少的主成分反映原始變量的絕大部分信息。 ijyy ?與 相 互 獨(dú) 立 (i j, i ， j=1 、 2 、 3 、 ... 、 p)1211 2 1ppyyyy y y y ?是 所 有 線 性 組 合 中 方 差 最 大 的 ；是 與 不 相 關(guān) 的 一 切 線 性 組 合 中 方 差 最 大 的 ；是 與 、 、 ... 、 都 不 相 關(guān) 的 一 切 線 性 組 合 中 方 差 最 大 的 。 可見 ， 主成分分析關(guān)鍵的步驟是如何求出上述方程中的系數(shù) 。 通過方程的推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn) ， 每個(gè)方程中的系數(shù)向量是原始變量相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量 。 具體求解步驟如下： （ 1） 將原有變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理； （ 2） 計(jì)算變量的相關(guān)系數(shù)矩陣； （ 3） 求相關(guān)系數(shù)矩陣的的特征根 及對(duì)應(yīng)的特征向量 12 ... p? ? ?? ? ?12 ... pu u u、 、 、 因子分析利用主成分分析得到的 p個(gè)特征根和對(duì)應(yīng)的特征向量 ， 在此基礎(chǔ)上計(jì)算因子載荷矩陣： 由于因子分析的目的是減少變量個(gè)數(shù) ， 因此在計(jì)算因子載荷矩陣時(shí) ， 一般不選取所有特征值 ， 而只選取前 k個(gè)特征值和特征向量 ， 得到下面包含 k個(gè)因子的因子載荷矩陣： ?因子個(gè)數(shù)的確定方法： （ 1）根據(jù)特征根確定因子數(shù)：一般選取大于 1的特征根，還可規(guī)定特征根數(shù)與特征根值的碎石圖并通過觀察碎石圖確定因子數(shù)； （ 2）根據(jù)因子的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率確定因子數(shù)：通常選取累計(jì)方差貢獻(xiàn)率大于 85%的特征根個(gè)數(shù)為因子個(gè)數(shù)。 例： 成績(jī)數(shù)據(jù)（ ） ? 100個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué) 、 物理 、 化學(xué) 、 語文 、 歷史 、英語的成績(jī)?nèi)缦卤?（ 部分 ） 。 從本例可能提出的問題 ? 能不能把這個(gè)數(shù)據(jù)的 6個(gè)變量用一兩個(gè)綜合變量來表示呢 ？ ?這一兩個(gè)綜合變量包含有多少原來的信息呢 ？ ?能不能利用找到的綜合變量來對(duì)學(xué)生排序呢 ？ 這一類數(shù)據(jù)所涉及的問題可以推廣到對(duì)企業(yè) ， 對(duì)學(xué)校進(jìn)行分析 、 排序、 判別和分類等問題 。 ? 例中的的數(shù)據(jù)點(diǎn)是六維的；也就是說 ， 每個(gè)觀測(cè)值是 6維空間中的一個(gè)點(diǎn) 。 我們希望把 6維空間用低維空間表示 。 ?先假定只有二維 ， 即只有兩個(gè)變量 ， 它們由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所代表；因此每個(gè)觀測(cè)值都有相應(yīng)于這兩個(gè)坐標(biāo)軸的兩個(gè)坐標(biāo)值；如果這些數(shù)據(jù)形成一個(gè)橢圓形狀的點(diǎn)陣 ， 那么這個(gè)橢圓有一個(gè)長(zhǎng)軸和一個(gè)短軸 。 在短軸方向上 ， 數(shù)據(jù)變化很少；在極端的情況 ， 短軸如果退化成一點(diǎn) ， 那只有在長(zhǎng)軸的方向才能夠解釋這些點(diǎn)的變化了；這樣 ， 由二維到一維的降維就自然完成了。 ? 當(dāng)坐標(biāo)軸和橢圓的長(zhǎng)短軸平行 ， 那么代表長(zhǎng)軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的主要變化 ， 而代表短軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的次要變化 。 ?但是 ， 坐標(biāo)軸通常并不和橢圓的長(zhǎng)短軸平行 。 因此 ， 需要尋找橢圓的長(zhǎng)短軸 ， 并進(jìn)行變換 ， 使得新變量和橢圓的長(zhǎng)短軸平行 。 ?如果長(zhǎng)軸變量代表了數(shù)據(jù)包含的大部分信息 ， 就用該變量代替原先的兩個(gè)變量 （ 舍去次要的一維 ） ， 降維就完成了 。 ?橢圓 （ 球 ） 的長(zhǎng)短軸相差得越大 ， 降維也越有效果 。 4 2 0 2 442024?對(duì)于多維變量的情況和二維類似 ， 也有高維的橢球 ， 只不過無法直觀地看見罷了 。 ?首先把高維橢球的主軸找出來 ， 再用代表大多數(shù)數(shù)據(jù)信息的最長(zhǎng)的幾個(gè)軸作為新變量；這樣 ， 主成分分析就基本完成了 。 ?注意，和二維情況類似，高維橢球的主軸也是互相垂直的。這些互相正交的新變量是原先變量的線性組合，即主成分 (principal ponent)。 ?正如二維橢圓有兩個(gè)主軸 ， 三維橢球有三個(gè)主軸一樣 ， 有幾個(gè)變量 ， 就有幾個(gè)主成分 。
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