[理學(xué)]豎直面的圓周運(yùn)動臨界問題和連接體問題(編輯修改稿)
2025-02-15 14:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 圖 16 － 5 (1) 小球在經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點(diǎn)時，軌道對小球作用力的大??； (2) 如果小球恰能通過第二個圓形軌道， B 、 C 間距 L 應(yīng)是多少？ (3) 在滿足 (2) 的條件下，如果要使小球不脫離軌道，在第三個圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑 R 3 應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn) A 的距離． 例 3 ( 1 ) N ( 2 ) m ( 3 ) 0R 3 ≤ m 或 m ≤ R 3 ≤ 27. 9 m m 或 m [ 解析 ] (1) 設(shè)小球經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點(diǎn)時的速度為 v 1 ，根據(jù)動能定理 － μmgL 1 － 2mgR 1 ＝12mv21 －12mv20 小球在最高點(diǎn)受到重力 mg 和軌道對它的作用力 F ，根據(jù)牛頓第二定律 F ＋ mg ＝ mv21R 1 聯(lián)立得 F ＝ N . (2) 設(shè)小球在第二個圓軌道的最高點(diǎn)的速度為 v 2 ，由題意 mg ＝ mv 22R 2 － μmg(L 1 ＋ L) － 2mgR 2 ＝12mv 22 －12mv 20 聯(lián)立解得 L ＝ m . (3) 要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論： 第一種情況： 當(dāng)軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道最高點(diǎn)，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為 v 3 ，應(yīng)滿足 mg ＝ mv 23R 3 由動能定理得 － μmg(L 1 ＋ 2L) － 2mgR 3 ＝12mv 23 －12mv 20 聯(lián)立解得 R 3 ＝ m (2) 設(shè)小球在第二個圓軌道的最高點(diǎn)的速度為 v2，由題意 mg ＝ mv22R2 － μmg(L1＋ L) － 2mgR2＝12mv22－12mv20 聯(lián)立解得 L ＝ m . (3) 要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論： 第一種情況： 當(dāng)軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道最高點(diǎn)，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為 v3，應(yīng)滿足 mg ＝ mv23R3 由動能定理得 － μmg(L1＋ 2L) － 2mgR3＝12mv23－12mv20 聯(lián)立解得 R3＝ m 第二種情況： 當(dāng)軌 道半徑較大時，小球不脫離軌道能上升的最大高度為 R3，根據(jù)動能定理有 － μmg(L1＋ 2L) － mgR3＝ 0 －12mv20 解得 R3＝ m 為了保證圓軌道不重疊，如圖所示， R3最大值應(yīng)滿足 (R2＋ R3)2＝ L2＋ (R3－ R2)2 解得 R3＝ m 綜合一、二兩種情況，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑必須滿足下面的條件： 0R3≤ m 或 m ≤ R3≤ m 當(dāng) 0R3≤ m 時，小球最終停留點(diǎn)與起始點(diǎn) A 的距離為 L ′ ，則 － μmgL ′ ＝ 0 －12mv20 解得 L ′ ＝ m 當(dāng) m ≤ R3≤ m 時，小球最終停留點(diǎn)與起始點(diǎn) A 的距離為 L ″ ，則 L ″ ＝ L ′ － 2(L ′ － L1－ 2L) ＝ m . [ 點(diǎn)評 ] 解豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動問題時，要注意對臨界狀態(tài)分析．本題的臨界狀態(tài)為：小球通過最高點(diǎn)時恰好軌道對地面無壓力． [ 命題意圖 ] 本題考查涉及圓周運(yùn)動的臨界分析．通過本題可使學(xué)生認(rèn)識到與圓周運(yùn)動聯(lián)系的臨界問題有多種形式，一定要具體問題具體分析．下面的變式題是
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