[理學(xué)]豎直面的圓周運動臨界問題和連接體問題-免費閱讀
【正文】 安徽卷 ] 過山車是游樂場中常見的設(shè)施．圖 16 － 5 是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個圓形軌道組成， B 、 C 、 D 分別是三個圓形軌道的最低點， B 、 C間距與 C 、 D 間距相等，半徑 R1＝ m 、 R2＝ m ．一個質(zhì)量為 m ＝ kg 的小球 ( 視為質(zhì)點 ) ，從軌道的左側(cè) A 點以 v0＝ 12. 0 m/s 的初速度沿軌道向右運動， A 、 B 間距 L1＝ m ．小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù) μ ＝ ，圓形軌道是光滑的．假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊．重力加速度取 g ＝ 10 m/s2，計算結(jié)果保留小數(shù)點后一位數(shù)字．試求： 圖 16 － 5 (1) 小球在經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大??； (2) 如果小球恰能通過第二個圓形軌道， B 、 C 間距 L 應(yīng)是多少？ (3) 在滿足 (2) 的條件下，如果要使小球不脫離軌道，在第三個圓形軌道的設(shè)計中，半徑 R 3 應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點與起點 A 的距離． 例 3 ( 1 ) N ( 2 ) m ( 3 ) 0R 3 ≤ m 或 m ≤ R 3 ≤ 27. 9 m m 或 m [ 解析 ] (1) 設(shè)小球經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點時的速度為 v 1 ，根據(jù)動能定理 － μmgL 1 － 2mgR 1 ＝12mv21 －12mv20 小球在最高點受到重力 mg 和軌道對它的作用力 F ，根據(jù)牛頓第二定律 F ＋ mg ＝ mv21R 1 聯(lián)立得 F ＝ N . (2) 設(shè)小球在第二個圓軌道的最高點的速度為 v 2 ，由題意 mg ＝ mv 22R 2 － μmg(L 1 ＋ L) － 2mgR 2 ＝12mv 22 －12mv 20 聯(lián)立解得 L ＝ m . (3) 要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論： 第一種情況： 當(dāng)軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道最高點，設(shè)在最高點的速度為 v 3 ，應(yīng)滿足 mg ＝ mv 23R 3 由動能定理得 － μmg(L 1 ＋ 2L) － 2mgR 3 ＝12mv 23 －12mv 20 聯(lián)立解得 R 3 ＝ m (2) 設(shè)小球在第二個圓軌道的最高點的速度為 v2，由題意 mg ＝ mv22R2 － μmg(L1＋ L) － 2mgR2＝12mv22－12mv20 聯(lián)立解得 L ＝ m . (3) 要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論： 第一種情況： 當(dāng)軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道最高點，設(shè)在最高點的速度為 v3，應(yīng)滿足 mg ＝ mv23R3 由動能定理得 － μmg(L1＋ 2L) － 2mgR3＝12mv23－12mv20 聯(lián)立解得 R3＝ m 第二種情況： 當(dāng)軌 道半徑較大時，小球不脫離軌道能上升的最大高度為 R3，根據(jù)動能定理有 － μmg(L1＋ 2L) － mgR3＝ 0 －12mv20 解得 R3＝ m 為了保證圓軌道不重疊，如圖所示， R3最大值應(yīng)滿足 (R2＋ R3)2＝ L2＋ (R3－ R2)2 解得 R3＝ m 綜合一、二兩種情況，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑必須滿足下面的條件： 0R3≤ m 或
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