【文章內(nèi)容簡介】 下的左極限。 【 例 519】 在 Matlab中 ,求解表達式 20 tan sinlimx xxx? ? 的極限數(shù)值。 syms x F=limit((tan(x)sin(x))/x^2) F = 0 在例 520中 ,采用 Matlab的默認(rèn)格式求解極限數(shù)值 ,也就是自變量為 x,求解當(dāng) x趨于 0時的極限。 【 例 520】 在 Matlab中 ,試證明表達式。 syms t x f=limit((1+x/t)^t,t,inf) f = exp(x) 【 例 521】 在 Matlab中 ,已知 ,試求在點處的左右極限。 syms x fl=limit(x/abs(x),x,0,39。left39。) fl = 1 fr=limit(x/abs(x),x,0,39。right39。) fr = 1 從結(jié)果可以看出 ,左極限的值為 1,右極限的值為 1,左右極限不相等 ,故在點處的極限不存在。在 Matlab中 ,可以通過繪制該函數(shù)的圖形來形象地了解函數(shù)的屬性 ,如： xl=2::0。 yl=xl/abs(xl)。 xr=0::2。 yr=xr/abs(xr)。 plot(xl,yl,xr,yr) axis([2 2 ]) % 設(shè)置坐標(biāo)軸的刻度范圍 圖 52 例 521的圖形 繪制圖形如圖 52所示： 從圖形中 ,可以清楚看到 ,函數(shù)在 處是間斷的 ,在左側(cè)值為 1,右側(cè)值為 1,故極限不存在（程序中的繪圖函數(shù)參考后續(xù)章節(jié)）。 0x? 二、符號微分 在符號數(shù)學(xué)工具箱中 ,表達式的微分用函數(shù) diff實現(xiàn) ,其調(diào)用 格式為： diff(S) 求對于默認(rèn)自變量的符號表達式 S的微分； diff(S, ‘v’) 求對于自變量 v的符號表達式 S的微分； diff(S, n) 求對于默認(rèn)自變量的符號表達式 S的 n次微分； diff(S,’v’,n) 求對于自變量 v的符號表達式 S的 n次微分。 【 例 522】 試對表達式 求一階偏導(dǎo)和二階偏導(dǎo)。 syms x y f=x^35*x^2*y+y^2。 dfdx=diff(f,x) dfdx = 3*x^210*x*y dfdy=diff(f,y) dfdy = 5*x^2+2*y dfdxdy=diff(dfdx,y) dfdxdy = 10*x dfdydx=diff(dfdy,x) dfdydx = 10*x 由此可見 ,使用函數(shù) diff可以很容易地實現(xiàn)微分計算 ,這和數(shù) 學(xué)求解相比 ,要簡單得多。 【 例 523】 試對表達式 求一階導(dǎo)數(shù)并化簡。 syms x n f=diff(log(x+sqrt(x^2+n^2))) f = (1+1/(x^2+n^2)^(1/2)*x)/(x+(x^2+n^2)^(1/2)) f1=simple(f) f1 = 1/(x^2+n^2)^(1/2) 根據(jù)數(shù)學(xué)知識 ,我們可以得到表達式的一階導(dǎo)數(shù)為： 其結(jié)果與 f1 =1/(x^2+n^2)^(1/2)是等價的 ,只是兩種環(huán)境下的不同表示結(jié)果。 22 221l n ( )d x x ndx xn? ? ? ?【 例 524】 在 Matlab中 ,求矩陣的微分。 syms x t A=[x*t x^2*sin(t)。exp(x*t) log(x+t)]。 D1=diff(A,t) D1 = [ x, x^2*cos(t)] [ x*exp(x*t), 1/(x+t)] D2=diff(A,2) D2 = [ 0, 2*sin(t)] [ t^2*exp(x*t), 1/(x+t)^2] D3=diff(diff(A,t)) % 以 t為自變量對 A求導(dǎo)后，再以 x為自 變量再對 A求導(dǎo) D3 = [ 1, 2*x*cos(t)] [ exp(x*t)+x*t*exp(x*t), 1/(x+t)^2] D4=diff(A) D4 = [ t, 2*x*sin(t)] [ t*exp(x*t), 1/(x+t)] D5=diff(A,x) D5 = [ t, 2*x*sin(t)] [ t*exp(x*t), 1/(x+t)] 三、符號積分 積分和微分可以看成一對互逆運算 ,然而積分的求解卻難 于微分 ,原因在于積分不僅包括定積分、不定積分 ,而且 還包括重積分。在 Matlab的符號數(shù)學(xué)工具箱中 ,提供函數(shù) int來對符號積分進行求解 ,其調(diào)用格式為： ? int(S) 求符號表達式 S對于默認(rèn)自變量的不定積分。 ? int (S, v) 求符號表達式 S對于自變量 v的不定積分。 ? int (S, a, b) 求符號表達式 S對于默認(rèn)自變量從 a到 b 的定積分。 ? int（ S,v,a,b） 求符號表達式 S對于自變量 v從 a到 b的定積分。 在 int函數(shù)中 ,a和 b不僅可以是常數(shù)變量 ,也可以是符號表達式和其它數(shù)值表達式 ,分別表示積分表達式的上下限。 【 例 525】 計算積分。 syms x y z f1=int(x/(1+x^2),x)。 % 求關(guān)于 x的不定積分 f2=int(x*log(1x),0,1)。 % 求關(guān)于 x在 [0,1]區(qū)間內(nèi)的定積分 f3=int(int(x^2+y^2,y,x,1+x),x,0,1)。 % 求表達式在變 量 y=[x,1+x],x=[0,1]時的積分 f1 f1 = (1/2)*log(x2+1) f2 f2 = 3/4 f3 f3 = 3/2 【 例 526】 在 Matlab中 ,求矩陣的積分結(jié)果。 syms t A=[t sin(t)。exp(t) log(1+t)]。 I=int(A) I = [ 1/2*t^2, cos(t)] [ exp(t), log(1+t)*(1+t)t1 ] pretty(I) [ 2 ] [1/2 t cos(t) ] [ ] [exp(t) log(1 + t) (1 + t) t – 1 ] 同數(shù)學(xué)中的積分相比 ,Matlab中的符號積分 簡單的多 ,適應(yīng)性較強 ,但是也存在缺點 ,運算的時 間較長 ,并且積分結(jié)果有時較為復(fù)雜 ,需要使用化 簡命令來化簡結(jié)果。 除了 int命令之外 ,Matlab還提供了一個交互 性的近似積分命令 rsums,該命令可以計算一元函 數(shù)在有限的閉區(qū)間上的積分?jǐn)?shù)值。其調(diào)用格式如 下： ?rsums(S,a,b) S是積分表達式 ,a和 b分別為積分的上下限。 【 例 527】 在 Matlab中 ,試運用命令 rsums求解函數(shù)在積分區(qū)間 [2,2]上的積分結(jié)果。 syms x f=(x+1)^3+3*x^2+2*x。 rsums(f,2,2) 在命令窗口輸入以上命令之后 ,按 Enter鍵 ,Matlab會自動調(diào)用近似積分的交互界面 ,如圖 53所示。 圖 53 交互近似積分界面 在默認(rèn)情況下 ,交互近似積分界面下方有一個“滑動鍵” ,此滑動鍵用來設(shè)置函數(shù)曲線下方的矩形個數(shù) ,缺省情況下 ,矩形個數(shù)是 10,當(dāng)滑鍵向左調(diào)節(jié)時 ,矩形個數(shù)減少；向右滑動時 ,矩形個數(shù)增加 ,最大的矩形個數(shù)為 128。調(diào)整積分矩形個數(shù) ,將其設(shè)置成 90,查看近似積分結(jié)果 ,如圖 54所示： 圖 54 矩形個數(shù)為 90時的積分界面 調(diào)整積分矩形個數(shù) ,將其設(shè)置成 128,查看近似積分?jǐn)?shù)值 ,如