[工學(xué)]材料力學(xué)第8章-能量法(編輯修改稿)
2025-02-15 11:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 C截面的撓度。 解 ：（ 1）判斷超靜定次數(shù)。 在靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上加入三根桿，多加了三個未知內(nèi)力，由 D 點的平衡可得到兩個附加平衡方程，所以本問題是一次超靜定 問題。 這類超靜定是由多余維持平衡所必需的桿件引起的，稱為 內(nèi)力 超靜定問題 。 能量法 /超靜定問題 力法 D A B C F 2 3 1 ?60a a ?60 A B C F X1=1 D a a （ 2）解除多余桿件約束（斷開桿件），得到靜定基。 比如截開桿件 1。 截開多余桿件是求解內(nèi)力超靜定問題的一般方法。 變形協(xié)調(diào)條件是被截開桿件的兩個斷面的相對位移為零。 桿件截開后，在 兩個 斷面分別方向相反的單位力。以此為基礎(chǔ)應(yīng) 用單位力法得到的與之對應(yīng)的位移是兩截面的相對位移。 如圖，截開桿一，在被截開的兩個斷面上分別施加單位軸力。 思考：為什么只需要施加單位軸力？而不需要施加單位剪力和 單位彎矩。 能量法 /超靜定問題 力法 D A B C F 2 3 1 ?60a a ?60 A B C F X1=1 D a a （ 3）由圖形互乘法建立幾何協(xié)調(diào)方程求解桿件內(nèi)力（力法正則方程）。 01111 ??? FX?物理意義：兩斷面軸向相對位移為零。 由于變形幾何協(xié)調(diào)條件設(shè)計軸向變形，所以要考慮桿件 1， 2， 3軸力的貢獻。這兒假設(shè)忽略 AB桿件的軸向變形。 分別作外力 F和單位力的彎矩圖： 2FaFM + 2a01M 能量法 /超靜定問題 力法 同時考慮 1， 2， 3桿的軸力和 AB梁的彎矩有： ???? ? ?????? ABABi Li iiiNiNiLi l iiiNiNiEIdxMMAElFFEIdxMMAEdlFF 010131000101310011??? ???? ABLFni iiiN i FNiF EIdxMMAElFF 01101靜定基上僅作用有單位力時有： 101 ?NF 10 30 2 ??? NN FF靜定基上僅作用有力 F時： 0321 ??? FNFNFN FFF31al ?3232all ??又： 所以有： ? ?? ? EAaaEAAE lFFi iiiNiNi3514131 223100??????0310???i iiiN iFNiAElFF能量法 /超靜定問題 力法 2FaFM + 2a01M 彎矩圖互乘有： EIFaaFaaEIEIdxMMABLF632212 301 ???????? ??????EIaaaaEIEIdxMMABL 632212 30101 ??????? ?????將軸力和彎矩互乘結(jié)果代入力法正則方程，有： 102AaI ?131310635162331111 ?????????? FAaIFEIaEAaEIFaX F?這樣就求得了桿一的內(nèi)力。 能量法 /超靜定問題 力法 A B C D 1 桿 1的內(nèi)力求出后，梁 AB上的彎矩是力 F引起的彎矩和桿 1內(nèi)力引 起的彎矩的疊加。 2FaFM + + 2a01M F2 13 ?? ? 433 Fa?M+ = 為求 C點撓度，在 C點處施加單位力（在靜定基上，桿 1已經(jīng)等價 為外力 X1），得到彎矩圖如下。 2a01M * ￥ 能量法 /超靜定問題 力法 ? ? ? ?EIFaaaFaFaEIEIM d xMy ABLc 632321322230????????????????? ?? ? 433 Fa?M+ 2a01M 作用在 C點的單位力不引起桿 1， 2， 3的軸力，將兩彎矩圖互乘有： 能量法 /超靜定問題 力法 利用結(jié)構(gòu)的對稱性判斷結(jié)構(gòu)內(nèi)力。 能量法 /超靜定問題 力法 2b a a F F D A B C FSA MA FNA MA FSA FSB MB FNB MB FSB F F 圖 a所示的是一平面封閉框架，其彎曲剛度為 EI，試作其彎矩圖。 解：此結(jié)構(gòu)為內(nèi)力超靜定問題。 由于結(jié)構(gòu)和載荷均對稱， 可將結(jié)構(gòu)沿 AB截開。 一般來說，截面 A和 B處均有 軸力，剪力和彎矩三個未知 內(nèi)力，方向如圖所示。 由結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性有： MA=MB 0?? SBSA FF 2FFF NBNA ??F X1 X1 F/2 F/2 結(jié)構(gòu)由三次超靜定轉(zhuǎn)化為一次超靜定問題。 能量法 /超靜定問題 力法 1 1 1 Fa/2 F X1 X1 F/2 F/2 為求 MA，需要建立 A點（或者 B點）處的幾何協(xié)調(diào)方程， 同樣地，由對稱性可知， A點或者 B點的轉(zhuǎn)角都為零。在 A， B 兩點分別施加單位集中力偶，如圖： 分別作出框架在力 F和集中力偶作用下的 彎矩圖： 單位力偶作用下的彎矩圖 力 F作用下的彎矩圖 能量法 /超靜定問題 力法 EIFaEIdxMMLFF 22011 ??? ?? ?baFaX F??????421111 ?01111 ??? FX?? ?EIbaEIdxMML??? ? 2022111? Fa/2Fa2/[4(a+b)] Fa2/[4(a+b)] 1 1 1 Fa/2 根據(jù)力法正則方程： M10 MF 根據(jù)圖形互乘法： 所以有： 則： FMXMM ?? 101彎矩圖如圖所示 能量法 /超靜定問題 力法 ? ?baEIbFaAB ??? 422A， B兩點有無相對水平位移？如何計算？ F X1 X1 F/2 F/2 能量法 /超靜定問題 力法 解：此結(jié)構(gòu)為超靜定結(jié)構(gòu)， DC FF ?由結(jié)構(gòu)對稱性： CF DF或 無法由靜力平衡求得。 必須借助幾何協(xié)調(diào)方程。
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