[工學(xué)]4-留數(shù)定理(編輯修改稿)
2025-02-15 10:45 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 eiz?iaeiazeiasf aiziaz 2)(l i m)(Re?????iaeiaeiazeiasf aaiziaz 22)(l i m)(Re ?????????ias haiaeeiasfiasfsf aa ???????? ?2)](Re)([Re)(Re ③本性奇點(diǎn) z=∞ ， 16 例：求 f(z) = z/(z1)的 Res f(∞) 解：將 f(z)以 z= ∞為展開(kāi)中心，在 展開(kāi) ??? z1????????? 21111111)(zzzzzzf所以 ， Res f(∞)=a1=1 另： f(z) = z/(z1)，在有限遠(yuǎn)的僅有單極點(diǎn) z=1，而 Res f(1)=1 Res f(∞)+ Res f(1)=0 所以， Res f(∞)=1 本節(jié)作業(yè)：第 55頁(yè) 第 1題（ 2， 5）； 第 2題（ 2， 3）。 17 167。 應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分 實(shí)變函數(shù)積分 ?復(fù)變函數(shù)的回路積分 基本思想 : 將在區(qū)間 l1=[a, b] 的 實(shí)變函數(shù)積分與復(fù)平面上的回路積分聯(lián)系起來(lái) ??badxxfI )(可以看做 復(fù)變函數(shù)線積分的特例 ,即是復(fù)變函數(shù)在實(shí)軸上的線積分。因此，可把上述實(shí)數(shù)積分與復(fù)變函數(shù)積分聯(lián)系起來(lái)。 18 方法一、通過(guò)變量變換，把 區(qū)間l1=[a, b]映射成復(fù)平面的回路， 把實(shí)數(shù)積分變成 復(fù)平面的回路積分。 方法二、如果 補(bǔ)充線段 l2,可構(gòu)成 回路積分 。 實(shí)函數(shù)必須 解析延拓 到復(fù)平面上包含回路的一個(gè)區(qū)域中，而實(shí)積分 成為回路積分的一部分。 l1 x y l2 L ? a ? b .)()()(2? ? ???lba ldzzfdxxfdzzf左邊積分和右邊第二個(gè)積分可以利用復(fù)變函數(shù)理論，很容易求出， 這樣可以完成實(shí)變函數(shù)定積分 。 19 類型一： 其中：（ 1） R(cosx, sin x) 是 sinx, cosx 的有理式； （ 2）積分區(qū)間是 [0, 2?]； (3) 在區(qū)間 [0, 2?]內(nèi)，無(wú)奇點(diǎn)。 ? ?20 )s i n,( c o s dxxxR變量變換 ixez ?dzizdxzzixzzx1),(21s i n),(21c o s11???????20 ? 0 ? 2? x x y o z平面 ? 1 積分區(qū)域變換：線段到單位圓。 ??20)s i n,(c os dxxxR ???? ??111)2,2(z izdzizzzzR例 1 10,c os120???? ? ???xdxI解 ????? ??????1211 2221/zz zzdzizzizdzI???22 1212???????? iiI21 類型二： 其中： (1) 積分區(qū)間是 (?, +? )。 (2) 復(fù)變函數(shù) f(z) 在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)（ b1, b2… bn) 外解析； (3) 當(dāng) z 在上半平面及實(shí)軸上 ??時(shí)， zf(z)一致地 ?0； 如果 f(x) 是有理分式 φ(x)/ψ (x) ,則 ψ (x)在實(shí)軸無(wú)零點(diǎn)， ψ (x)的次數(shù)至少高于 φ(x) 二次。 ???? dxxf )(22 積分主值概念： 反常積分 定義為 當(dāng) R1=R2 時(shí)， 稱為 I 的積分主值 一般，積分主值存在，不一定反常積分存在，反之，如果反常積分存在，積分主值一定存在！本類型積分要計(jì)算的是積分主值。 ???????? 2121)(l i mRRRRdxxfI???????????RRRdxxfdxxf )(l i m)(P???? dxxf )(23 計(jì)算積分主值 將 f(x)在復(fù)平面上延拓成 f(z),則 由留數(shù)定理： 當(dāng) R??,左邊的第一個(gè)積分 即是要求的，第二個(gè)積分可證明當(dāng)
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