[工學(xué)]數(shù)值方法第二章非線性方程的近似解法(編輯修改稿)
2025-02-15 10:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ???3 31222125 5 , ( ) ,223 ( ) 1 , w he n [ , ] ,2 = ( ) do e s no t c onv e r ge .kkkkx xxxxxxxx?????? ???? ? ? ??實(shí)驗(yàn)題目：用迭代法求方程在[0,1]內(nèi)的根。 為了獲得較快的收斂速度你認(rèn)為應(yīng)該寫(xiě)成怎樣的等價(jià)方程？ 051x53x03x50x 2 ??????? ..))(.(2212233 .5 1 .5 0( ) 2 .5 1 .5( ) ( 1 .5 ) / 3( ) 3 .5 1 .5xxx x x xx x xx x x???? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?51x53253x3x2x52x2x321...)(/)(.)(39。39。39。????????Remark1:以特定的圖形符號(hào)加上說(shuō)明，表示算法的圖，稱為 流程圖或框圖 。 Remark2：為便于識(shí)別，繪制習(xí)慣做法是： 圓角矩形表示“開(kāi)始”與“結(jié)束”； 矩形表示工作環(huán)節(jié)用 ； 菱形表示問(wèn)題判斷（審核）環(huán)節(jié)； 平行四邊形表示輸入輸出； 箭頭代表工作流方向。 關(guān)于流程圖 時(shí)間表控制流程圖 10()xx??km 是 輸出 k=k+1 是 否 輸入 0 ,xm?k = 0 算法 (迭代法 ) 定義 ()x? 10xx ???已到最大迭代次數(shù) 1,xk01xx?否 結(jié)束 開(kāi)始 二 、 迭代法的收斂階 若 0C1,p=1稱為 線性收斂 ； p1稱為 超線性收斂 ； p＝2稱為 平方收斂 （ 二次收斂 ）。 p 越大，收斂速度越快；反之， p越小，收斂速度就越慢。因此，迭代法的收斂階是對(duì)迭代法收斂速度的一種度量。 1lim kpkke Ce????（ C稱為漸近誤差常數(shù)） 定義： 設(shè) 收斂于 ，令迭代誤差 ，如果存在實(shí)數(shù) 及非零正常數(shù) C使得 1kkxx?? ? （ ） *()x x x?? 的 根*kke x x?? 1p?則稱該迭代過(guò)程以及該迭代式是 p階收斂的 ，也稱相應(yīng)的迭代法是 p階方法。 加速公式 記 ， 則由微分中值定理有 )(1 kk xx ???三、迭代法的加速 ))(( **1 xxxx kk ????? ??其中 ?在 xk與 x*之間。 假定 在根 x*附近變化不大，可設(shè) ，由 迭代收斂條件有 ，故上式可寫(xiě)為： 1)(39。 ?? qx?)(39。 x? qx ?)(39。?)( **1 xxqxx kk ????整理為： )(1 1*1 ?? ???? kkk xxqqxx得到迭代加速公式 上式說(shuō)明 ， 把 作為根的近似值時(shí) ， 其絕對(duì)誤差大致為 。 如果把該誤差值作為對(duì) 的一種補(bǔ)償 ， 便可以得到更好的近似值 1?kx1?kx)(1 1??? kk xxqq)(1 11* kkk xxqqxx ???? ??記 )(1 111 kkkk xxqqxx ???? ???, . . .,)(210kxq1qxq11xxxk1k1kk1k???????????????Remark3：該方法的缺點(diǎn)是需估計(jì) 的近似值。 Remark1：該迭代法對(duì)原迭代式的各近似值在根 x*的兩側(cè)往復(fù)地趨于 x*時(shí)較為有效。在這種情況下，不但能加快新序列的收斂，還能有效地防止死循環(huán)的出現(xiàn)。 Remark2：若序列 {xk}單調(diào)趨于 x*時(shí)，上式不能起到加速收斂的作用。 )(39。 *x?x y y = x x* y=φ(x) x0 p0 x1 p1 ? 2． 埃特金 （ Aitken） 加速方法 記 )(),( 121 ??? ?? kkkk xxxx ??kkkkkkkkxxxxxxxx??????????11211 )()( ??)( *112*1 xxxxxxxxkkkkk ?????????kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxx??????????????????12212212212*2)(2用平均變化率 代替迭代加速公式中的 ，于是有 )(???則 從上式可以看出，第二項(xiàng)是對(duì) 的一種補(bǔ)償。 2?kx?,2,1,02)()(122121121????????????????????????kxxxxxxxxxxxkkkkkkkkkkk??因此可以得下述 Aitken加速方法： kkkkkkk xxxxxxx?????????122121 2Remark：因?yàn)榈^(guò)程 xk+1= ?(xk)總是在根 x*附近進(jìn)行，因此用平均變化率代替迭代加速公式中 的是有意義的。 )(???記 對(duì)于埃特金（ Aitken）加速方法有如下的定理： 定理 3：如果由迭代公式 xk+1= ?(xk)產(chǎn)生的數(shù)列 {xk} 滿足： （ 1）收斂于根 x*； （ 2） ?,2,1,0,0),10( *1lim ??????????kxxeccee kkkkk0**lim ????? xxxxkkk則由埃特金（ Aitken）加速公式產(chǎn)生的數(shù)列 比數(shù)列 {xk}較快的收斂于根 x*，即 ? ?kx取前兩項(xiàng)近似代替 得近似 的線性方程 一 、 Newton迭代法 NewtonRaphson公式 ??????? 2)(!2 )())((39。)()( kkkkk xxxfxxxfxfxf0))((39。)( ??? kkk xxxfxf)(xf 0)( ?xf167。 Newton迭代法 設(shè) 是 的一個(gè)近似根，則 0)( ?xfkx基本思想 ：將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程來(lái)求解。
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1