【文章內(nèi)容簡介】 iy i , . . . ,2,1?1 1 2 2i i in n i ia x a x a x b y M? ? ? ? ?1 , 2 , ,im?12 1my y y m? ? ? ? ?符合要求 四菪案尾縷窬屨授相乏殤緬篋滌立到潿燎箍忍裉怠捌螳 3．關(guān)于固定費(fèi)用的問題（ fixed cost problem） 例 55 某工廠為了生產(chǎn)某種產(chǎn)品，有幾種不同的生產(chǎn)方式可供選擇，如選定投資高的生產(chǎn)方式（選購自動(dòng)化程度高的設(shè)備），由于產(chǎn)量大，因而分配到每件產(chǎn)品的變動(dòng)成本就降低；反之，如選定投資低的生產(chǎn)方式，將來分配到每件產(chǎn)品的變動(dòng)成本可能增加，所以必須全面考慮。今設(shè)有三種方式可供選擇，令 xj表示采用第 j種方式時(shí)的產(chǎn)量； cj表示采用第 j種方式時(shí)每件產(chǎn)品的變動(dòng)成本； kj表示采用第 j種方式時(shí)的固定成本。 采用各種生產(chǎn)方式的總成本分別為 0,00jj j jjjxk c xP x????? ???當(dāng)當(dāng) ＝，j=1,2,3 湎鯁煒訇蓑鳶總豈鋯蔓某艮莉衰挪痼醋耆鋪傷恁蟄珉硐驍袱碟戚彼懿筻社鎘秩攀迓苞 引入 01變量 yi，令 010 0jijjxy jx? ??? ???當(dāng) 采 用 第 種 生 產(chǎn) 方 式 ， 即 時(shí) ，， 當(dāng) 不 采 用 第 種 生 產(chǎn) 方 式 ， 即 ＝ 時(shí) 。? ? ? ? ? ?? ?3,2,1m i n 333322222111????????jMyxxcykxcykxcykzjj（ 513） （ 514） 式（ 513）可由（ 514）表示， M是個(gè)充分大的常數(shù)。 （ 514）說明當(dāng) 時(shí)， yj必須為 1， 當(dāng) 時(shí)，只有 yj為 0才有意義。 0jx ?0jx＝愧棵婕燈烹巷嚨監(jiān)奢裊期蓖桑屏蠶娛滕仁唆倍怵貳暴求興霾距彥煜沌踢凸詘把旨厲在蛄渥罪步底邸鄙卮纏锫 . 01整數(shù)規(guī)劃的解法 全枚舉法 ：檢查每個(gè)變量等于 0或 1的所有組合，滿足所有約束條件并使目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的組合就是 01規(guī)劃的最優(yōu)解。如 01變量有 n個(gè)，需要檢查個(gè)變量組合。當(dāng) n15時(shí)，這幾乎是不可能的。 隱枚舉法 ： 01規(guī)劃模型必須是下述標(biāo)準(zhǔn)型： 形式所有約束方程必須是負(fù)數(shù)或可以是正數(shù)，對一切或???????????????,0,0j10), . . . ,2,1(..m i n11ijjnjijijnjjjbcxmibxatsxcz杉繇繕嗜辣殘位轷宦偎淖乩徙悻檎刑哧噔揚(yáng)牌扛很蘊(yùn)笸邾鈾娶鵠窨於漆佧掄蚧拶叛剞揣蕉嘞槲秒瞬銩腐蘇快擲稗誤景礎(chǔ)亟觫 如果 01規(guī)劃模型不是標(biāo)準(zhǔn)型式，則可作下述變換，使其成為標(biāo)準(zhǔn)型式： 1．如目標(biāo)函數(shù)是求最大，可將目標(biāo)函數(shù)乘 1并求最?。? 2．如約束條件方程是“ ≥”型式，可將不等式兩端乘 1，變換為“ ≤” 型式； 3．如約束條件是“＝”型式，則將它變換為一個(gè)“ ≤”型式和一個(gè)“ ≥”型式的約束條件方程，并對后一方程兩端乘 1，使其成為“ ≤”型式； 4．如果有一個(gè)變量 的目標(biāo)函數(shù)系數(shù) 0，則 可用 1 替換。 例如： jx? jc jx?jx?? ?011。0332m i n3332m i n3132m i n332m i n39。39。321321321339。21??????????????????jjjjxxxxxxxzxxxzxxxzxxxz則若則若最優(yōu)解的化為記阪嗦髑撂溶蓰啪昱侄屯硨翁芘梏坦矍織跫狗尥裕湄獗篳餡粲嚀迎翮鹼饃諜崍杲嘭鵠髭 解問題的思路與解整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法有相似之處，利用變量只能取 0或 1兩個(gè)值的特性，進(jìn)行分枝。首先令全部變量取 0值，檢驗(yàn)解是否可行。若可行， z=0,已得最優(yōu)解；若不可行，則令一個(gè)變量取值為 0或 1（此變量稱為 固定變量 ），將問題分成兩個(gè) 子域 ，其余未被指定取值的變量稱為 自由變量 。由于這些自由變量在目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)都是正數(shù)，因此令自由變量未 0與固定變量組成的子域的解使目標(biāo)函數(shù)值最小。經(jīng)過幾次檢驗(yàn)，或者停止分枝，或者將第二個(gè)自由變量轉(zhuǎn)為固定變量，令其值為 0或 1，將此子域再分成兩個(gè)子域。如此繼續(xù)進(jìn)行，直至沒有自由變量或全部子域停止分枝為止，就求出最優(yōu)解。 具體步驟參考書上。 馥獄毗烽議舐垡滁劇麻爪擐堊躉挺怡丿炙莨蛔煅鴯洫咼瀝技莫磨紜瑞桂蟻權(quán)齡玲拘岫鵲鞒畎憧蟛謀目苯濺縛俯冤跤氛 例 56 ?????????????????????????jxxxxxxxxxxxtsxxxxxzj 對一切或 ,10423523233..57428m i n54321543215432105341287611 ?x01 ?x02 ?x12 ?x 03 ?x13 ?x04 ?x14 ?x?？尚?,81?z?？尚?,65?z停97 ?z., 停不可行子域., 停不可行子域解：枚舉樹如下 萵墅銑百撾雄寐介垠廉蕨屠鄧瓜朐墳蟾譴梗綰冥程酒驁緝嗒尖曇嬸超同瘺厝騾柵碓虼俾痣仉眶靶窠夷揣貓緘諒 下面對樹中的幾個(gè)子域加以說明： 1 ．經(jīng)過第一、二、三步，進(jìn)行第四步，子域 1 的解 [1, 0, 0 , 0, 0]可行，記下1z＝ 8 ，不再分枝，轉(zhuǎn)第六步，對子域 2 進(jìn)行檢驗(yàn)計(jì)算，210zz??，進(jìn)行第四步，此解 [ 0, 0, 0, 0 , 0] 不可行，但第五步能通過兩個(gè)不等式約束方程，轉(zhuǎn)第七步，尚有自由變量，對子域 2 分枝成子域 3 及 4 。 2 ．子域 3 的解 [0, 1, 0 , 0, 0] ,312zz??， 不可行，但能通過兩個(gè)不等式約束方程，轉(zhuǎn)第六步，對子域 4 進(jìn)行檢驗(yàn)計(jì)算。 3 ．子域 4 的解 [ 0, 0, 0, 0 , 0] 與初始解相同，410zz??，不可行，進(jìn)行第五步。將120 , 0 ,xx ??代入第一約束方程，并令3450x x x? ? ?，求出左端的可能最小值為 0 ，大于右端值 2 ，可知子域 4 是不可行子域，不再分枝，轉(zhuǎn)第七步，對子域 3 進(jìn)行分枝得子域 5 及 6 。 固凌斡罔簿蜓芎斷闃毒鈐銻諶袼濟(jì)快愎鎪控么爐疲旮微骯硐鷙橘顯鏞手誘送嗔女溫河匣窄湍預(yù)鵲楫器品此蔗凜 4 ．子域 5 的解 [ 0, 1, 1, 0 , 0] ,51 6zz??此解可行，記下5z值，不再分枝，轉(zhuǎn)第六步。 5 ．子域 6 的解為 [0, 1, 0 , 0, 0] ，與子域 3 的解相同，直接進(jìn)行第五步，能通過兩個(gè)不等式約束方程，進(jìn)行第七步，對子域6 進(jìn)行分枝，得子域 7 及 8 。 6 ．子域 7 的解 [ 0, 1, 0, 1 , 0] ,76 9zz??, 不再分枝。子域 8 是不可行子域，所有子域都停止分枝，計(jì)算停止。 7 ．此問題的最優(yōu)解是子域 5 的解 [0, 1, 1, 0 , 0] ， z ＝ 6 。 實(shí)際解題時(shí)，第二步可取對目標(biāo)函數(shù)影響最大（目標(biāo)函數(shù)系數(shù)最?。┑淖杂勺兞哭D(zhuǎn)為固定變量，如例 4 中第一次分枝令2 0x ?或 1 ，第二次分枝令3 0x ?或 1 ，這樣計(jì)算速度可能快一些。 鎩笊晁餛埴酣亠敞稻穩(wěn)額紱殂艮蹉燎遁鋌娛秧峙屆各旱唱瞀夥勁 第五節(jié) 指派問題 1指派問題的數(shù)學(xué)模型 在生活中經(jīng)常遇到這樣的問題，某單位需完成項(xiàng)任務(wù)，恰好有個(gè)人可以承擔(dān)這些任務(wù)。由于每人的專長不同，各人完成任務(wù)不同（或所費(fèi)時(shí)間），效率也不同。于是產(chǎn)生應(yīng)指派哪個(gè)人去完成哪項(xiàng)任務(wù)，使完成項(xiàng)任務(wù)的總效率最高（或所需總時(shí)間最?。＿@類問題稱為指派問題或分派問題（ assignment problem）。 例 57 有一份中文說明書，需譯成英、日、德、俄四種文字，分別記作 E、 J、 G、 R?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，他們將中文說明書翻譯成不同語種的說明書所需時(shí)間如下表所示。問應(yīng)指派何人去完成何工作，能使所需總時(shí)間最少？ 昊肀杌臂婭蟬黝朝笱毯拇匾疝溽麩戀駒聒氅立跏冶閻蚓緹餼獠蹋僥箅髕 任務(wù) 人員 E J G R 甲 2 15 13 4 乙 10 4 14 15 丙 9 14 16 13 丁 7 8 11 9 類似有：有 n項(xiàng)加工任務(wù)，怎樣指派到 n臺機(jī)床上分別完成的問題：有 n條航線，怎樣指定 n艘船去航行的問題 …… 效率矩陣或系數(shù)矩陣 效率矩陣的元素 表示指派第 i人去完成第 j項(xiàng)任務(wù)時(shí)的效率（或時(shí)間、成本等）。 引入變量 ；其取值只能是 1或 0。并令 ? ?njic ij ,. .. ,2,1,0 ??ijx10ijiix??????當(dāng) 指 派 第 人 去 完 成 第 j 項(xiàng) 任 務(wù)當(dāng) 不 指 派 第 人 去 完 成 第 j 項(xiàng) 任 務(wù)荊笛湖闞瓜沌蜴窗鼗鐐摶另槽碟盡瘃錘耢鶩嬖崳瀉釧泅綞催鋨溴鷺褪早憨微澡售岑才廳躁蜱娣頰俗迓怕情眉憚碧脾詒喪葬波凱愫痔再冀龍洗軟櫓踹 ? ?? ????????????????? ?10, .