包括第一、二類曲線積分(1)(編輯修改稿)
2025-02-14 16:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 續(xù)時在光滑曲線弧當 LyxQyxP ?? ? LL dyyxQdxyxP ),(),(., jdyidxdsjQiPF ????? ????其中.? ?? L dsF?? ?? L dyyxQdxyxP ),(),(為簡便起見 或者向量形式 34 ?空間有向曲線弧.),(lim),(10iiinii xPdxzyxP ?? ?????????.?? ?? Rd zQd yPd x.),(lim),(10iiinii yQdyzyxQ ????? ??????.),(lim),(10iiinii zRdzzyxR ????? ??????35 . ,)2(2121??? ????? LLL Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d xLLL 則和分成如果把則方向相反的有向曲線弧是與是有向曲線弧設(shè), ,)3(LLL?即 對坐標的曲線積分 與曲線的方向有關(guān) . ?? ????? LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),((1) 線性性質(zhì) 36 二、對坐標的曲線積分的計算 ,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在則曲線積分且續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連為端點的閉區(qū)間上具有及在以運動到終點沿的起點從點時到變單調(diào)地由當參數(shù)的參數(shù)方程為續(xù)上有定義且連在曲線弧設(shè)???????????LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP??????????定理 37 dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(???????????????且證明 : 下面先證 tttP d )](),([?? ?? ??)(t??根據(jù)定義 ?????niiii xP10),(lim ???對應(yīng)參數(shù) 設(shè)分點 ix ,it ,i? 由于 1???? iii xxx )()( 1??? ii tt ?? ii t???? (??對應(yīng)參數(shù) 38 tttP d )](),([?? ?? ??????niiiP10)](,)([lim ????? ii t??? )(??????niiiP10)](,)([lim ????? ii t?? )(??)(t??因為 L 為光滑弧 , 同理可證 tttQ d )](),([?? ?? ??)(t??39 特殊情形 .)(:)1( baxxyyL ，終點為起點為?.)}()](,[)](,[{ dxxyxyxQxyxPQd yPd x baL ?? ????則.)(:)2( dcyyxxL ，終點為起點為?.]}),([)(]),([{ dyyyxQyxyyxPQd yPd x dcL ?? ????則40 .,)()()(:)3( ?????終點起點推廣 ttztytx?????????dtttttRttttQttttPdzyxRdyyxQdxyxP)}()](),(),([ )()](),(),([ )()](),(),([{),(),(),(?????????????????????????41 例 1: .)1,1()1,1(, 2的一段弧到上從為拋物線其中計算BAxyLx y d xL???解 : 的定積分，化為對方法 x1.xy ????? ?? OBAOL x y d xx y d xx y d x?? ??? 1001 )( dxxxdxxx?? 10 232 dxx .54?xy ?2)1,1( ?A)1,1(B42 的定積分，化為對方法 y2,2yx ??? ? ABL x y d xx y d x?? ?? 1 1 22 )( dyyyy.11到從 ?y??? 11 42 dyy .54?xy ?2)1,1( ?A)1,1(B43 .)0,()0,()2(。)1(,2的直線段軸到點沿從點的上半圓周針方向繞行、圓心為原點、按逆時半徑為為其中計算aBxaAaLdxyL??例 2: 解 : ,s i nc o s:)1(???????ayaxL?，變到從 ?? 0 )0,(aA)0,( aB ???? 0原式 ??? daa )s i n(s i n 22 ???? 03a )( c os)c os1( 2 ?? d? .34 3a??32022234)(2)( adxxadxxaaaa????? ???或 44 )0,(aA)0,( aB ?,0:)2( ?yL?，變到從 aax ???? aa dx0原式 .0?本題結(jié)論： 被積函數(shù)相同，起點和終點也相同， 但路徑不同積分結(jié)果不同 . 45 例 3: ).1,1(),0,1( )0,0(,)3(。)1,1()0,0()2(。)1,1()0,0()1(,2222依次是點，這里有向折線的一段弧到上從拋物線的一段弧到上從拋物線為其中計算BAOO A BBOyxBOxyLdyxx y d xL????2xy?)0,1(A)1,1(B解 : .)1( 的積分化為對 x,10,: 2 變到從xxyL ?? ???? 10 22 )22( dxxxxx原式?? 10 34 dxx .1?46 )0,1(A)1,1(B2yx?.)2( 的積分化為對 y,10,: 2 變到從yyxL ?? ???? 10 42 )22( dyyyyy原式?? 10 45 dxy .1? )0,1(A)1,1(B)3(??????ABOAdyxx y d xdyxx y d x2222原式47 ,上在 OA ,10,0 變到從xy ??? ????? 10 22 )002(2 dxxxdyxx y d xOA .0?,上在 AB ,10,1 變到從yx ??? ???? 102 )102(2 dyydyxx y d xAB .1?10 ??? 原式 .1?)0,1(A)1,1(B本題結(jié)論 ： 被積函數(shù)相同，起點和終點也相同， 但路徑不同而積分結(jié)果相同 . 48 三、 兩類曲線積分之間的聯(lián)系： ,)( )(?????tytxL??：設(shè)有向平面曲線弧為,),( ??為處的切線向量的方向角上點 yxL?? ??? LL dsQPQ d yP d x )c o sc o s( ??則其中 22()c o s ,( ) ( )ttt????????? ?22()c o s ,( ) ( )ttt????????? ?當 L的方向是 t增加的方向時取正號，是 t減少的方向時取負號。 49 類似地 , 在 空間曲線 ?上的 兩類曲線積分的聯(lián)系 是 zRyQxP ddd ????? ? sRQP dc o sc o sc o s ??? ??? ??令 tA,),( RQPA ? )d,d,(dd zyxs ?)c o
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