【文章內(nèi)容簡介】 19x30=(x+2)(x+3)(x5).練習(xí)(1)在1到100之間若存在整數(shù)n,使x2+xn能分解為兩個(gè)整系數(shù)一次式的乘積,這樣的n有()個(gè)(A)0(B)1(C)2(D)9(E)10(2)二次多項(xiàng)式x2+2kx3k2能被x1整除,那么k值是()(A)1或(B)1或(C)0(D)1或1(3)如果100x2kxy+49y2是一個(gè)完全平方式,那么k=()(A)4900(B)9800(C)140(D)70（1）多項(xiàng)式6x2+mxy3y2+3x+10y3能分解成關(guān)于x、y的一次多項(xiàng)式,則m=____.（2）已知x2+x1=0,則x3+2x2+1985=____.3.（1）分解因式a2b2+4a+2b+3（2）分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)12.4.（1）分解因式a3bab3+a2+b2+1（2）（1989年廣州等五市聯(lián)賽）分解因式(x+y)(xy)+4(y1).5.（1986年全國初中數(shù)學(xué)知識競賽）分解因式(x+y)3+2xy(1xy)1..(x+y)3x3y3+3xy.(ab+bc+ca)(a+b+c)abc.9.（1986年五城市聯(lián)賽試題）若a為自然數(shù)，則a43a2+9是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？給出你的證明.10.（1985年北京市初中數(shù)學(xué)競賽題）若a為自然數(shù)，證明10|(a1985a1949).練習(xí)１．Ｄ．Ａ．Ｃ．２．（１）ｍ＝７．（２）１９８６３．（１）（ａ＋ｂ＋１）（ａ－ｂ＋３）．（２）（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋５）４．（１）（ａ２－ａｂ＋１）（ａｂ＋ｂ２＋１）（２）（ｘ－ｙ＋２）（ｘ＋ｙ－２）５．（ｘ＋ｙ－１）（ｘ２＋ｙ２＋ｘ＋ｙ＋１）．６．Ａ＝１０１９８６＋１＝（１０６６２）８＋１＝…分角為兩因數(shù)之積，且兩因數(shù)均大于１即可得證．７．原式＝（ｘ＋ｙ）３－（ｘ３＋ｙ３）＋３ｘｙ＝…＝３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋１）．８．（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）．９．原式＝（ａ２－３ａ＋３）（ａ２＋３ａ＋３）．再討論：ａ＝１或２時(shí)，知為質(zhì)數(shù)，ａ＞２為合數(shù).１０．∵ａ１９８５－ａ１９４９＝ａ１９４９（ａ２＋１）（ａ４－ａ２＋１）（ａ１２－ａ６＋１）（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）（ａ６－ａ３＋１）（ａ６＋ａ３＋１）（ａ2＋ａ＋１）（ａ－１）．當(dāng)ａ的個(gè)位數(shù)字分別為0～9時(shí),上式右端總含有因數(shù)2和5,∴１０｜（ａ１９８５－ａ１９４９）．競賽講座23－完全平方數(shù)(一)完全平方數(shù)的性質(zhì)　　一個(gè)數(shù)如果是另一個(gè)整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù)。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…　　觀察這些完全平方數(shù)，可以獲得對它們的個(gè)位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認(rèn)識。下面我們來研究完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì)：　　性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9?！　⌒再|(zhì)2：奇數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)?！　∽C明　奇數(shù)必為下列五種形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分別平方后，得　　(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1　　(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9　　(10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5　　(10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9　　(10a+9)=100+180a+81=20(5a+9a+4)+1綜上各種情形可知：奇數(shù)的平方，個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)1,5,9；十位數(shù)字為偶數(shù)?！　⌒再|(zhì)3：如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。證明　已知=10k+6，證明k為奇數(shù)。因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)為6，所以m的個(gè)位數(shù)為4或6，于是可設(shè)m=10n+4或10n+6。則10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或　10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即　k=10+8n+1=2(5+4n)+1或　k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴　k為奇數(shù)。推論1：如果一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個(gè)位數(shù)字不是6，那么這個(gè)數(shù)一定不是完全平方數(shù)。　　推論2：如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。性質(zhì)4：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。這是因?yàn)椤?2k+1)=4k(k+1)+1　　　　　(2k)=4性質(zhì)5：奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。在性質(zhì)4的證明中，由k(k+1)一定為偶數(shù)可得到(2k+1)是8n+1型的數(shù)；由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n+4型的數(shù)。性質(zhì)6：平方數(shù)的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。因?yàn)樽匀粩?shù)被3除按余數(shù)的不同可以分為三類：3m,3m+1,3m+2。平方后，分別得(3m)=9=3k(3m+1)=9+6m+1=3k+1(3m+2)=9+12m+4=3k+1同理可以得到：性質(zhì)7：不能被5整除的數(shù)的平方為5k177。1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型。性質(zhì)8：平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。除了上面關(guān)于個(gè)位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。例如，256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數(shù)字和。如果再把13的各位數(shù)字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。下面我們提到的一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，直到成為一位數(shù)為止。我們可以得到下面的命題：一個(gè)數(shù)的數(shù)字和等于這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)。下面以四位數(shù)為例來說明這個(gè)命題。設(shè)四位數(shù)為，則　=1000a+100b+10c+d　　　　=999a+99b+9c+(a+b+c+d)　　　　=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)顯然，a+b+c+d是四位數(shù)被9除的余數(shù)。對于n位數(shù)，也可以仿此法予以證明。關(guān)于完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì)：　　性質(zhì)9：完全平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。證明　因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)被9除只能是9k,9k177。1,9k177。2,9k177。3,9k177。4這幾種形式，而(9k)=9(9)+0(9k177。1)=9(9177。2k)+1(9k177。2)=9(9177。4k)+4(9k177。3)=9(9177。6k)+9(9k177。4)=9(9177。8k+1)+7除了以上幾條性質(zhì)以外，還有下列重要性質(zhì)：　　性質(zhì)10：為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。證明　充分性：設(shè)b為平方數(shù)，則==(ac)必要性：若為完全平方數(shù)，=，則　　性質(zhì)11：如果質(zhì)數(shù)p能整除a，但不能整除a，則a不是完全平方數(shù)。證明　由題設(shè)可知，a有質(zhì)因子p，但無因子，可知a分解成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，p的次方為1，而完全平方數(shù)分解成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，各質(zhì)因子的次方均為偶數(shù)，可見a不是完全平方數(shù)?！　⌒再|(zhì)12：在兩個(gè)相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即若k(n+1)則k一定不是完全平方數(shù)。性質(zhì)13：一個(gè)正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個(gè)因子(包括1和n本身)。(二)重要結(jié)論,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；??；，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；177。2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。(三)范例　　[例1]：一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)?！　〗猓涸O(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得(m,n為自然數(shù))(2)(1)可得　　∴nm(但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。　　[例2]：求證：四個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個(gè)奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。　　分析　設(shè)四個(gè)連續(xù)的整數(shù)為，其中n為整數(shù)。欲證是一奇數(shù)的平方，只需將它通過因式分解而變成一個(gè)奇數(shù)的平方即可?！　∽C明　設(shè)這四個(gè)整數(shù)之積加上1為m，則　　　　　　　　　　　　　　而n(n+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因?yàn)?n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了m是一個(gè)奇數(shù)的平方?！　例3]：求證：11,111,1111,這串?dāng)?shù)中沒有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學(xué)競賽題)?！　》治觥⌒稳绲臄?shù)若是完全平方數(shù)，必是末位為1或9的數(shù)的平方，即　或　在兩端同時(shí)減去1之后即可推出矛盾?！　∽C明　若，則因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。若，則因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。綜上所述，不可能是完全平方數(shù)?！　×碜C　由為奇數(shù)知，若它為完全平方數(shù)，則只能是奇數(shù)的平方。但已證過，奇數(shù)的平方其十位數(shù)字必是偶數(shù)，而十位上的數(shù)字為1，所以不是完全平方數(shù)?！　例4]：試證數(shù)列49,4489,444889,的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù)?！　∽C明　　　　　　=　　　　　=++1　　　　　=4+8+1　　　　　=4()(9+1)+8+1　　　　　=36()+12+1　　　　　=(6+1)即為完全平方數(shù)。[例5]：用300個(gè)2和若干個(gè)0組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)？解：設(shè)由300個(gè)2和若干個(gè)0組成的數(shù)為A，則其數(shù)字和為6003︱600　∴3︱A此數(shù)有3的因子，故9︱A。但9︱600，∴矛盾。故不可能有完全平方數(shù)。[例6]：試求一個(gè)四位數(shù)，它是一個(gè)完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同(1999小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請賽試題)。解：設(shè)此數(shù)為此數(shù)為完全平方，則必須是11的倍數(shù)。因此11︱a+b，而a,b為0,1,2,9，故共有(2,9),(3,8),(4,7),(9,2)等8組可能。直接驗(yàn)算，可知此數(shù)為7744=88。[例7]：求滿足下列條件的所有自然數(shù)：(1)它是四位數(shù)。(2)被22除余數(shù)為5。(3)它是完全平方數(shù)。解：設(shè)，其中n,N為自然數(shù)，可知N為奇數(shù)。11︱N4或11︱N+4或k=1　　k=2　　k=3　k=4　k=5　　所以此自然數(shù)為1369,2601,3481,5329,6561,9025?！　例8]：甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣價(jià)又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了