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正文內(nèi)容

數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題三附答案(編輯修改稿)

2025-02-14 07:12 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 19x30=(x+2)(x+3)(x5).練習(xí)(1)在1到100之間若存在整數(shù)n,使x2+xn能分解為兩個(gè)整系數(shù)一次式的乘積,這樣的n有()個(gè)(A)0(B)1(C)2(D)9(E)10(2)二次多項(xiàng)式x2+2kx3k2能被x1整除,那么k值是()(A)1或(B)1或(C)0(D)1或1(3)如果100x2kxy+49y2是一個(gè)完全平方式,那么k=()(A)4900(B)9800(C)140(D)70(1)多項(xiàng)式6x2+mxy3y2+3x+10y3能分解成關(guān)于x、y的一次多項(xiàng)式,則m=____.(2)已知x2+x1=0,則x3+2x2+1985=____.3.(1)分解因式a2b2+4a+2b+3(2)分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)12.4.(1)分解因式a3bab3+a2+b2+1(2)(1989年廣州等五市聯(lián)賽)分解因式(x+y)(xy)+4(y1).5.(1986年全國初中數(shù)學(xué)知識競賽)分解因式(x+y)3+2xy(1xy)1..(x+y)3x3y3+3xy.(ab+bc+ca)(a+b+c)abc.9.(1986年五城市聯(lián)賽試題)若a為自然數(shù),則a43a2+9是質(zhì)數(shù),還是合數(shù)?給出你的證明.10.(1985年北京市初中數(shù)學(xué)競賽題)若a為自然數(shù),證明10|(a1985a1949).練習(xí)1.D.A.C.2.(1)m=7.(2)19863.(1)(a+b+1)(a-b+3).(2)(x+2)(x-1)(x2+x+5)4.(1)(a2-ab+1)(ab+b2+1)(2)(x-y+2)(x+y-2)5.(x+y-1)(x2+y2+x+y+1).6.A=101986+1=(10662)8+1=…分角為兩因數(shù)之積,且兩因數(shù)均大于1即可得證.7.原式=(x+y)3-(x3+y3)+3xy=…=3xy(x+y+1).8.(a+b)(b+c)(c+a).9.原式=(a2-3a+3)(a2+3a+3).再討論:a=1或2時(shí),知為質(zhì)數(shù),a>2為合數(shù).10.∵a1985-a1949=a1949(a2+1)(a4-a2+1)(a12-a6+1)(a+1)(a2-a+1)(a6-a3+1)(a6+a3+1)(a2+a+1)(a-1).當(dāng)a的個(gè)位數(shù)字分別為0~9時(shí),上式右端總含有因數(shù)2和5,∴10|(a1985-a1949).競賽講座23-完全平方數(shù)(一)完全平方數(shù)的性質(zhì)  一個(gè)數(shù)如果是另一個(gè)整數(shù)的完全平方,那么我們就稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù),也叫做平方數(shù)。例如:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…  觀察這些完全平方數(shù),可以獲得對它們的個(gè)位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認(rèn)識。下面我們來研究完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì):  性質(zhì)1:完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9?! ⌒再|(zhì)2:奇數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù),十位數(shù)字為偶數(shù)?! ∽C明 奇數(shù)必為下列五種形式之一:10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分別平方后,得  (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1  (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9  (10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5  (10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9  (10a+9)=100+180a+81=20(5a+9a+4)+1綜上各種情形可知:奇數(shù)的平方,個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)1,5,9;十位數(shù)字為偶數(shù)?! ⌒再|(zhì)3:如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù),則它的個(gè)位數(shù)字一定是6;反之,如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6,則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。證明 已知=10k+6,證明k為奇數(shù)。因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)為6,所以m的個(gè)位數(shù)為4或6,于是可設(shè)m=10n+4或10n+6。則10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴ k為奇數(shù)。推論1:如果一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù),而個(gè)位數(shù)字不是6,那么這個(gè)數(shù)一定不是完全平方數(shù)。  推論2:如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字不是6,則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。性質(zhì)4:偶數(shù)的平方是4的倍數(shù);奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。這是因?yàn)椤?2k+1)=4k(k+1)+1     (2k)=4性質(zhì)5:奇數(shù)的平方是8n+1型;偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。在性質(zhì)4的證明中,由k(k+1)一定為偶數(shù)可得到(2k+1)是8n+1型的數(shù);由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n+4型的數(shù)。性質(zhì)6:平方數(shù)的形式必為下列兩種之一:3k,3k+1。因?yàn)樽匀粩?shù)被3除按余數(shù)的不同可以分為三類:3m,3m+1,3m+2。平方后,分別得(3m)=9=3k(3m+1)=9+6m+1=3k+1(3m+2)=9+12m+4=3k+1同理可以得到:性質(zhì)7:不能被5整除的數(shù)的平方為5k177。1型,能被5整除的數(shù)的平方為5k型。性質(zhì)8:平方數(shù)的形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。除了上面關(guān)于個(gè)位數(shù),十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外,還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。例如,256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13,13叫做256的各位數(shù)字和。如果再把13的各位數(shù)字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。下面我們提到的一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加,如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù),就把所得的數(shù)字再相加,直到成為一位數(shù)為止。我們可以得到下面的命題:一個(gè)數(shù)的數(shù)字和等于這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)。下面以四位數(shù)為例來說明這個(gè)命題。設(shè)四位數(shù)為,則 =1000a+100b+10c+d    =999a+99b+9c+(a+b+c+d)    =9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)顯然,a+b+c+d是四位數(shù)被9除的余數(shù)。對于n位數(shù),也可以仿此法予以證明。關(guān)于完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì):  性質(zhì)9:完全平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。證明 因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)被9除只能是9k,9k177。1,9k177。2,9k177。3,9k177。4這幾種形式,而(9k)=9(9)+0(9k177。1)=9(9177。2k)+1(9k177。2)=9(9177。4k)+4(9k177。3)=9(9177。6k)+9(9k177。4)=9(9177。8k+1)+7除了以上幾條性質(zhì)以外,還有下列重要性質(zhì):  性質(zhì)10:為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。證明 充分性:設(shè)b為平方數(shù),則==(ac)必要性:若為完全平方數(shù),=,則  性質(zhì)11:如果質(zhì)數(shù)p能整除a,但不能整除a,則a不是完全平方數(shù)。證明 由題設(shè)可知,a有質(zhì)因子p,但無因子,可知a分解成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí),p的次方為1,而完全平方數(shù)分解成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí),各質(zhì)因子的次方均為偶數(shù),可見a不是完全平方數(shù)?! ⌒再|(zhì)12:在兩個(gè)相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù),即若k(n+1)則k一定不是完全平方數(shù)。性質(zhì)13:一個(gè)正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個(gè)因子(包括1和n本身)。(二)重要結(jié)論,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);??;,十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);177。2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。(三)范例  [例1]:一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù),求此數(shù)?! 〗猓涸O(shè)此自然數(shù)為x,依題意可得(m,n為自然數(shù))(2)(1)可得  ∴nm(但89為質(zhì)數(shù),它的正因子只能是1與89,于是。解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。  [例2]:求證:四個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積加上1,等于一個(gè)奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。  分析 設(shè)四個(gè)連續(xù)的整數(shù)為,其中n為整數(shù)。欲證是一奇數(shù)的平方,只需將它通過因式分解而變成一個(gè)奇數(shù)的平方即可?! ∽C明 設(shè)這四個(gè)整數(shù)之積加上1為m,則              而n(n+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積,所以是偶數(shù);又因?yàn)?n+1是奇數(shù),因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了m是一個(gè)奇數(shù)的平方?! 例3]:求證:11,111,1111,這串?dāng)?shù)中沒有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學(xué)競賽題)?! 》治觥⌒稳绲臄?shù)若是完全平方數(shù),必是末位為1或9的數(shù)的平方,即 或 在兩端同時(shí)減去1之后即可推出矛盾?! ∽C明 若,則因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù),右端為偶數(shù),所以左右兩端不相等。若,則因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù),右端為偶數(shù),所以左右兩端不相等。綜上所述,不可能是完全平方數(shù)?! ×碜C 由為奇數(shù)知,若它為完全平方數(shù),則只能是奇數(shù)的平方。但已證過,奇數(shù)的平方其十位數(shù)字必是偶數(shù),而十位上的數(shù)字為1,所以不是完全平方數(shù)?! 例4]:試證數(shù)列49,4489,444889,的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù)?! ∽C明      =     =++1     =4+8+1     =4()(9+1)+8+1     =36()+12+1     =(6+1)即為完全平方數(shù)。[例5]:用300個(gè)2和若干個(gè)0組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)?解:設(shè)由300個(gè)2和若干個(gè)0組成的數(shù)為A,則其數(shù)字和為6003︱600 ∴3︱A此數(shù)有3的因子,故9︱A。但9︱600,∴矛盾。故不可能有完全平方數(shù)。[例6]:試求一個(gè)四位數(shù),它是一個(gè)完全平方數(shù),并且它的前兩位數(shù)字相同,后兩位數(shù)字也相同(1999小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請賽試題)。解:設(shè)此數(shù)為此數(shù)為完全平方,則必須是11的倍數(shù)。因此11︱a+b,而a,b為0,1,2,9,故共有(2,9),(3,8),(4,7),(9,2)等8組可能。直接驗(yàn)算,可知此數(shù)為7744=88。[例7]:求滿足下列條件的所有自然數(shù):(1)它是四位數(shù)。(2)被22除余數(shù)為5。(3)它是完全平方數(shù)。解:設(shè),其中n,N為自然數(shù),可知N為奇數(shù)。11︱N4或11︱N+4或k=1  k=2  k=3 k=4 k=5  所以此自然數(shù)為1369,2601,3481,5329,6561,9025?! 例8]:甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊,而每頭羊的賣價(jià)又恰為n元,全部賣完后,兩人分錢方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此輪流,拿到最后,剩下不足十元,輪到乙拿去。為了
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