【文章內容簡介】 2022?qppppEp ???????10010100010480 ???pE保會通財務軟件 例 5某廠每天生產某種產品 q件的成本函數(shù)為 C=+36q+9800元，為使平均成本達到最低，每天的產量應為多少？此時每件產品的平均成本是多少？ 解： ∵ 令 得 q=140(其中 q=140舍去 ) q=140是 的唯一駐點，且該問題確實有使平均成本函數(shù)的最低點。 ∴ q=140時可使平均成本達到最低，此時的平均成本為 )0()()( ????? qqqq qCqC`)( 239。 qqC ??? ? 039。 ?qC? ?qC39。? ? )/( 件元?????C保會通財務軟件 第四章 一元函數(shù)積分學 一、原函數(shù)與不定積分的概念 若 F(x)的導數(shù)為 f(x)，即 ,則 F(x)是 f(x)的一個原函數(shù)，且原函數(shù)具有下列性質： 若 F(x)是 f(x)是一個原函數(shù)，則 F(x)+C仍是 f(x)的原函數(shù)，其中 C為任意常數(shù)。 若 f(x)有原函數(shù)存在，則有無窮多個，且任意兩原函數(shù)之間僅相差一個常數(shù)。 求已知函數(shù)的不定積分即為求已知函數(shù)的全體原函數(shù)。 )()(39。 xfxF ?CxFdxxf ??? )()(二、不定積分的性質 與求導 (求微分 )為互逆運算 運算性質 其中 k1,k2是任意實數(shù)。 )()( xfdxxfdxd ?? dxxfdxxfd )()( ??Cxfdxxf ??? )()(39。 Cxfxdf ??? )()(dxxfkdxxfkdxxfkxfk )()())()(( 22112211 ??? ???保會通財務軟件 三、積分基本公式 正如導數(shù)公式是求導運算的基礎一樣，積分基本公式是積分運算的基礎，在積分中無論采取怎樣的方法進行計算，歸根結底還是要設法利用積分基本公式求得最后的結果，可見，積分基本公式在積分計算中的重要，必須熟記并熟練使用。 四、積分計算 因為對于定積分 ，只需先求得相應的不定積分 則 ，即定積分的計算可歸結為求原函數(shù)問題，所以，在此我們主要敘述不定積分的計算方法。 直接積分法 利用積分基本公式和運算性質求積分的方法為直接積分法。在用此法求積分時，常常要對被積函數(shù)進行適當?shù)刈冃?，變成可直接應用基本公式或可直接應用基本公式的線性組合形式。 ?ba dxxf )( ? ?? CxFdxxf )()(baba xFdxxf |)()(? ?保會通財務軟件 例 1 求下列不定積分 (1) (2) (3) 解 (1)先利用冪函數(shù)運算性質，再利用積分性質和積分基本公式計算，即 dxxx )1( 3??? dxexx2? ? dxxx 2)1(? ? ??? dxxxdxxx )()1( 65213dxxdxx ?? ?? 6521Cxx ??? 61123 11632(2)同上理解，將 看成 ，則有 xxe2 xe??????2? ? ??????? dxedxexxx 22Ceex???????? 22ln1Ce xx ??????????? 212ln 1你好 ！ 呵呵 …… (3)將 看成 ，則 第一換元積分法（湊微分法） 湊微分法的基本思想是 “ 湊微分，使新的變量容易求出原函數(shù) ” ，即 ，其中 ,而且容易求出 最終還原到關于 x的原函數(shù)。 xx 2)1( ? xxx xx 12122 ?????? ? ?????? ???? dxxxdxxx 12)1( 2??? ??? dxxdxx dx 12Cxxx ???? ||ln221 2? ?? duufdxxg )()( )(xu ?? ? ?? CuFduuf )()(保會通財務軟件 記住下列湊微分形式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) )0)(( ??? abaxda d x)0)((21 2 ??? abaxdax dx)( s inc o s xdx d x ?)( c o ss in xdx d x ??xddxx 21 ????????? xddxx 112? ?||ln1 xddxx ?xx dedxe ?2221 xx dedxxe ?保會通財務軟件 對于定積分，我們可以按照 “ 換元變限 ” 的原則，免去回代還原的步驟。 例 2 求下列積分 解 (1) ? ? dxxx 23)1( ? ? dxx )12s in ()2(? 32 ln1)3( ee dxxx ?10 c os)4( dxee xx? ? ????? )3()3(213)1( 222 21 xdxdxxx)3(21 221 uxduu ???? ? 令Cu ??? 2331Cx ???? 232 )3(931保會通財務軟件 (2) 可見，在湊微分技巧熟練之后，可以省略令 “ 2x1=u”，及還原“ u=2x1”的步驟，但是我們必須在腦子里十分清楚，是對誰在求積分。也即 ? ? ???? )12()12s i n(21)12s i n( xdxdxx? ??? )12(s in21 xuudu 令Cx ???? )12c os (21Cu ??? c o s21? ? ???? )12()12s i n(21)12s i n( xdxdxxCx ???? )12c os (21保會通財務軟件 (3)方法一 (換元換限 ) 令 u=lnx，當 x=e2時， u=2，當 x=e3時 u=3 方法二 (不換元，心中明確是對 lnx求積分 ) 當積分變量是 u時，要將變量 x對應的積分限變?yōu)?u所對應的積分限，否則會在計算中出現(xiàn)錯誤。 ? ?? ???32 32 23 )ln(ln lnlnee ee xuudux xdxx dx 令2ln3ln|ln 23 ??? u? ? ??32 3232 ||ln|lnlnlnlnee eeee xx xdxx dx 2ln3ln ??保會通財務軟件 (4)方法一 (換元換限 ) 令 u=ex,當 x=0時， u=1，當 x=1時， u=e，代入原式得 方法二 (心中明確對 ex求積分，但不去換元 ) 分部積分法 當被積函數(shù)是 Pn(x)sinx,Pn(x)cosx,Pn(x)ex和 Pn(x)lnx(其中Pn(x)是 x的 n次多項式 )時，可用分部積分法求解，在求解中要注意： ? ?? ??? 10 1 110 |s i nc osc os)c os ( e exxxx uududeedxee1s ins in ?? e? ? ?????10 1001 1s i ns i n|s i nc osc os eedeedxee xxxxx保會通財務軟件 (1)分部積分法是通過將 轉化 來計算，而后者應是易求出積分的。 (2)運用分部積分法時，要能正確地確定被積函數(shù)中的 u的 v`，一般來說，選擇 u,v`的原則是： ①選作 v`的函數(shù)應容易計算積分，或是好求原函數(shù)。 ②所選取的 u和 v`，要使積分 較之積分 容易計算。 ③連續(xù)兩次（或兩次以上）應用分部積分公式時，再一次選擇的 u,v`必須是