【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 42/226 群 ? 定理 如果 G,*是半群 ， 并且對(duì) ?a， b?G， 都存在 x， y?G 使 x*a=b， a*y=b， 則 G,*是群 。 群中元素的數(shù)目稱(chēng)為群的階 。 證明： 設(shè) a?G， 方程 x*a=a 的解為 e1， ∵ 對(duì) ?t?G， 方程 a*y=t 有解 y0， ∴ e1*t= e1*（ a*y0） =（ e1*a） *y0 =a*y0=t 即對(duì) ?t?G， 必有 e1*t=t， e1是 G中的左幺元 。 同樣可以證明 G中有右幺元 e2， 所以 G中有幺元 e。 同理 ， 對(duì) ?b?G， 方程 x*b=e有解 x0， 這個(gè) x0是 b的左逆元 ， 方程 b*y=e的解是 b的右逆元 ， 從而 b有逆元 。 所以 ， G,*是群 。 這個(gè)定理說(shuō)明，在群的定義中幺元及逆元的條件可用方程有解來(lái)代替。 另外， 群定義中的幺元條件可以用存在左幺元 (或右幺元 )的條件代替，逆元的條件可以用左逆元 (或右逆元 )代替。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 43/226 定理 1) 群 G中每個(gè)元素都是可消去的 ， 即運(yùn)算滿(mǎn)足消去律 ； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無(wú)其它冪等元； 3) 群 G的運(yùn)算表中任意一行 (列 )都沒(méi)有兩個(gè)相同的元素 （ 重復(fù)元素 ） ； 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 44/226 定理 1) 群 G中每個(gè)元素都是可消去的 ， 即運(yùn)算滿(mǎn)足消去律 ； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無(wú)其它冪等元； 3) 群 G的運(yùn)算表中任意一行 (列 )都沒(méi)有兩個(gè)相同的元素 （ 重復(fù)元素 ） ； 證明： 由于群 G中每個(gè)元素都有逆元 a1， 由 a*b=a*c ? a1*a*b=a1*a*c，即 b=c 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 45/226 定理 1) 群 G中每個(gè)元素都是可消去的 ， 即運(yùn)算滿(mǎn)足消去律； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無(wú)其它冪等元； 3) 群 G的運(yùn)算表中任意一行 (列 )都沒(méi)有兩個(gè)相同的元素 （ 重復(fù)元素 ） ； 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 46/226 定理 1) 群 G中每個(gè)元素都是可消去的 ， 即運(yùn)算滿(mǎn)足消去律； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無(wú)其它冪等元； 3) 群 G的運(yùn)算表中任意一行 (列 )都沒(méi)有兩個(gè)相同的元素 （ 重復(fù)元素 ） ； 證明：（反證法） 假設(shè) a是群 G中非幺元的冪等元，即 a*a＝ a，且 a≠e 。因此 a*a＝a*e， 由（ 1）知 a＝ e，矛盾。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 47/226 定理 1) 群 G中每個(gè)元素都是可消去的 ， 即運(yùn)算滿(mǎn)足消去律； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無(wú)其它冪等元； 3) 群 G的運(yùn)算表中任意一行 (列 )都沒(méi)有兩個(gè)相同的元素 （ 重復(fù)元素 ） ； 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 48/226 定理 1) 群 G中每個(gè)元素都是可消去的 ， 即運(yùn)算滿(mǎn)足消去律； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無(wú)其它冪等元； 3) 群 G的運(yùn)算表中任意一行 (列 )都沒(méi)有兩個(gè)相同的元素 （ 重復(fù)元素 ） ； 證明： （反證法） 假設(shè)群 G的運(yùn)算表中某一行 (列 )有兩個(gè)相同的元素，設(shè)為 a，并設(shè)它們所在的行表頭元素為 b，列表頭元素分別為 c1,c2，這時(shí)顯然有 c1≠c 2。而 a＝ bc1＝ bc2，由 (1)得 c1＝ c2，矛盾。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 49/226 補(bǔ)充 ?例： 構(gòu)造一個(gè) 3階群 。 解： 設(shè) e是幺元 ， G={e, a, b} 則可構(gòu)造的 3階群如下： 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 50/226 ? 定理 設(shè) G,*是群 ， a∈ G。 構(gòu)造映射 ， 使得對(duì)任意 x∈ G， ，令 ， 則對(duì)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 “ ” ， H, 是群 。 定理的證明留與讀者練習(xí) :A GG?? ( ) *A x a x??這個(gè)定理說(shuō)明：可以由一個(gè)已知的群來(lái)構(gòu)造出一個(gè)新的群。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 51/226 ? 例： 設(shè) X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運(yùn)算 “ 。 ” 是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 ， 證明 S， 。 是群 。 證明： （ 1） 封閉性： ?f,g∈S ， f、 g是雙射 ， 則 f。 g也是雙射 ， 因此 f。 g ∈S ， 故封閉性成立 。 （ 2） 結(jié)合律：由函數(shù)的 運(yùn)算 “ 。 ” 滿(mǎn)足結(jié)合律 ， 因此在 S中也滿(mǎn)足結(jié)合律 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 52/226 ? 例： 設(shè) X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運(yùn)算 “ 。 ” 是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 ， 證明 S， 。 是群 。 證明： （ 1） 封閉性 ： ?f,g∈S ， f、 g是雙射 ， 則 f。 g也是雙射 ， 因此 f。 g ∈S ， 故封閉性成立 。 （ 2） 結(jié)合律：由函數(shù)的 運(yùn)算 “ 。 ” 滿(mǎn)足結(jié)合律 ， 因此在 S中也滿(mǎn)足結(jié)合律 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 53/226 ? 例： 設(shè) X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運(yùn)算 “ 。 ” 是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 ， 證明 S， 。 是群 。 證明： （ 1） 封閉性 ： ?f,g∈S ， f、 g是雙射 ， 則 f。 g也是雙射 ， 因此 f。 g ∈S ， 故封閉性成立 。 （ 2） 結(jié)合律 ： 由函數(shù)的 運(yùn)算 “ 。 ” 滿(mǎn)足結(jié)合律 ， 因此在 S中也滿(mǎn)足結(jié)合律 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 54/226 ? 例： 設(shè) X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運(yùn)算 “ 。 ” 是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 ， 證明 S， 。 是群 。 證明： （ 續(xù) ） （ 3） 幺元 ：恒等映射 IX ∈S, 且 ?f∈S ， 有： IX。 f=f。 IX=f ， 因此 IX是 S， 。 的幺元 。 （ 4） ?f,g∈S 是雙射 ， 則 f的逆函數(shù) f1存在 ， f1也 是雙射 ， 即 f1∈S ， 且有： f1。 f=f。 f1=IX， 因此 ， f的逆函數(shù) f1就是 f關(guān)于 “ 。 ” 的逆元 ， 即 S的任意元素都有逆元 。 綜合 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 知 S， 。 是群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 55/226 ? 例： 設(shè) X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運(yùn)算 “ 。 ” 是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 ， 證明 S， 。 是群 。 證明： （ 續(xù) ） （ 3） 幺元 ： 恒等映射 IX ∈S, 且 ?f∈S ， 有： IX。 f=f。 IX=f ， 因此 IX是 S， 。 的幺元 。 （ 4） ?f,g∈S 是雙射 ， 則 f的逆函數(shù) f1存在 ， f1也 是雙射 ， 即 f1∈S ， 且有： f1。 f=f。 f1=IX， 因此 ， f的逆函數(shù) f1就是 f關(guān)于 “ 。 ” 的逆元 ， 即 S的任意元素 都有逆元 。 綜合 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 知 S， 。 是群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 56/226 ?課外練習(xí) ： 設(shè) A=R{0， 1}， 在 A上定義 6個(gè)映射如下：對(duì)于任意 x∈A 有： 令 G={f1,f2,f3,f4,f5,f6}。 試證明 G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 “ 。 ” 構(gòu)成群 G， 。 。 1 2 34 5 61( ) , ( ) , ( ) 1 ,11( ) , ( ) , ( )f x x f x f x xxxxf x f x f xx x x? ? ? ??? ? ???2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 57/226 子群 ? 定義 設(shè) G， *是一個(gè)群 ， S是 G的一個(gè)非空子集 ， 若 S也是群 ， 則稱(chēng) S， *是 G， *的 一個(gè)子群 。 一般來(lái)說(shuō) ， 對(duì)任意的群 G， *， 都有兩個(gè)子群{e}， *， G， *， 我們稱(chēng)此兩個(gè)子群為該群的平凡子群 ,而若有子群 S,*,且 S?{e}和 S?G， 則稱(chēng) S， *為 G， *的真子群 。 ? 另外 ， 由群中的一個(gè)元素也可生成一個(gè)子群 。 定義為：ak=（ ak） 1。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 58/226 子群 ? 定義 設(shè) G， *是一個(gè)群 ， S是 G的一個(gè)非空子集 ， 若 S也是群 ， 則稱(chēng) S， *是 G， *的一個(gè)子群 。 一般來(lái)說(shuō) ， 對(duì)任意的群 G， *， 都有兩個(gè)子群{e}， *， G， *， 我們稱(chēng)此兩個(gè)子群為該群的 平凡子群 ,而若有子群 S,*,且 S?{e}和 S?G， 則稱(chēng) S， *為 G， *的 真子群 。 ? 另外 ， 由群中的一個(gè)元素也可生成一個(gè)子群 。 為此 ，需要將群中元素的冪擴(kuò)充到負(fù)指數(shù)的形式 ， 即 定義為：ak=（ ak） 1。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 59/226 子群 ? 定義 設(shè) G， *是一個(gè)群 ， S是 G的一個(gè)非空子集 ， 若 S也是群 ， 則稱(chēng) S， *是 G， *的一個(gè)子群 。 一般來(lái)說(shuō) ， 對(duì)任意的群 G， *， 都有兩個(gè)子群{e}， *， G， *， 我們稱(chēng)此兩個(gè)子群為該群的平凡子群 ,而若有子群 S,*,且 S?{e}和 S?G， 則稱(chēng) S， *為 G， *的真子群 。 ? 另外 ， 由群中的一個(gè)元素也可生成一個(gè)子群 。 為此 ，需要將群中元素的冪擴(kuò)充到負(fù)指數(shù)的形式 ， 即 定義為：ak=（ ak） 1。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 60/226 ? 定理 設(shè) G， *是一個(gè)群 ， 對(duì)任意的 a∈G ， 令 S＝ {an|n∈Z ， Z是整數(shù) }， 則 S， *是 G， *的子群 。 證明： 因?yàn)?a∈S ， 所以顯然 S是 G的非空子集 。 對(duì)任意的 an， am∈S ， 則 an*am＝ an+m， 由 n,m∈Z ， 有 n+m∈Z ， 所以 an+m∈S ， 即運(yùn)算是封閉的；由 S是 G的子集可得結(jié)合律也成立；由于 e=a0?S ， 所以 S中有幺元； 又 ∵ an ?S有逆元 an使 an*an=e ∴ 綜上所述 ， S， *是 G， *的子群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 61/226 ? 定理 設(shè) G， *是一個(gè)群 ， 對(duì)任意的 a∈G ， 令 S＝ {an|n∈Z ， Z是整數(shù) }， 則 S， *是 G， *的子群 。 證明： 因?yàn)?a∈S ， 所以顯然 S是 G的 非空子集 。 對(duì)任意的 an， am∈S ， 則 an*am＝ an+m， 由 n,m∈Z ， 有 n+m∈Z ， 所以 an+m∈S ， 即運(yùn)算是封閉的；由 S是 G的子集可得結(jié)合律也成立；由于 e=a0?S ， 所以 S中有幺元； 又 ∵ an ?S有逆元 an使 an*an=e ∴ 綜上所述 ， S， *是 G， *的子群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 62/226 ? 定理 設(shè) G， *是一個(gè)群 ， 對(duì)任意的 a∈G ， 令 S＝ {an|n∈Z ， Z是整數(shù) }， 則 S， *是 G， *的子群 。 證明： 因?yàn)?a∈S ， 所以顯然 S是 G的非空子集 。 對(duì)任意的 an， am∈S ， 則 an*am＝ an+m， 由 n,m∈Z ， 有 n+m∈Z ， 所以 an+m∈S ， 即運(yùn)算是 封閉的 ；由 S是 G的子集可得結(jié)合律也成立；由于 e=a0?S ， 所以S中有幺元； 又 ∵ an ?S有逆元 an使 an*an=e ∴ 綜上所述 ， S， *是 G， *的子群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 63/226 ? 定理