【正文】 個元素的集合 A上的全體置換構成集合 Sn。 由此可知 ， Sn, 構成群 ， 這個群一般稱為 n次對稱群 ， 是一類重要的群 。 ??2022/2/13 計算機學院 38/226 群 ? 定理 如果 G,*是半群 ， 并且對 ?a， b?G， 都存在 x， y?G 使 x*a=b， a*y=b， 則 G,*是 群 。 證明： 設 a?G， 方程 x*a=a 的解為 e1， ∵ 對 ?t?G， 方程 a*y=t 有解 y0， ∴ e1*t= e1*（ a*y0） =（ e1*a） *y0 =a*y0=t 即對 ?t?G， 必有 e1*t=t， e1是 G中的左幺元 。 同理 ， 對 ?b?G， 方程 x*b=e有解 x0， 這個 x0是 b的左逆元 ， 方程 b*y=e的解是 b的右逆元 ， 從而 b有逆元 。 2022/2/13 計算機學院 39/226 群 ? 定理 如果 G,*是半群 ， 并且對 ?a， b?G， 都存在 x， y?G 使 x*a=b， a*y=b， 則 G,*是群 。 證明： 設 a?G， 方程 x*a=a 的解為 e1， ∵ 對 ?t?G， 方程 a*y=t 有解 y0， ∴ e1*t= e1*（ a*y0） =（ e1*a） *y0 =a*y0=t 即對 ?t?G， 必有 e1*t=t， e1是 G中的左幺元 。 同理 ， 對 ?b?G， 方程 x*b=e有解 x0， 這個 x0是 b的左逆元 ， 方程 b*y=e的解是 b的右逆元 ， 從而 b有逆元 。 2022/2/13 計算機學院 40/226 群 ? 定理 如果 G,*是半群 ， 并且對 ?a， b?G， 都存在 x， y?G 使 x*a=b， a*y=b， 則 G,*是群 。 證明： 設 a?G， 方程 x*a=a 的解為 e1， ∵ 對 ?t?G， 方程 a*y=t 有解 y0， ∴ e1*t= e1*（ a*y0） =（ e1*a） *y0 =a*y0=t 即對 ?t?G， 必有 e1*t=t， e1是 G中的左幺元 。 同理 ， 對 ?b?G， 方程 x*b=e有解 x0， 這個 x0是 b的左逆元 ， 方程 b*y=e的解是 b的右逆元 ， 從而 b有逆元 。 2022/2/13 計算機學院 41/226 群 ? 定理 如果 G,*是半群 ， 并且對 ?a， b?G， 都存在 x， y?G 使 x*a=b， a*y=b， 則 G,*是群 。 證明： 設 a?G， 方程 x*a=a 的解為 e1， ∵ 對 ?t?G， 方程 a*y=t 有解 y0， ∴ e1*t= e1*（ a*y0） =（ e1*a） *y0 =a*y0=t 即對 ?t?G， 必有 e1*t=t， e1是 G中的左幺元 。 同理 ， 對 ?b?G， 方程 x*b=e有解 x0， 這個 x0是 b的左逆元 ， 方程 b*y=e的解是 b的右逆元 ， 從而 b有逆元 。 2022/2/13 計算機學院 42/226 群 ? 定理 如果 G,*是半群 ， 并且對 ?a， b?G， 都存在 x， y?G 使 x*a=b， a*y=b， 則 G,*是群 。 證明： 設 a?G， 方程 x*a=a 的解為 e1， ∵ 對 ?t?G， 方程 a*y=t 有解 y0， ∴ e1*t= e1*（ a*y0） =（ e1*a） *y0 =a*y0=t 即對 ?t?G， 必有 e1*t=t， e1是 G中的左幺元 。 同理 ， 對 ?b?G， 方程 x*b=e有解 x0， 這個 x0是 b的左逆元 ， 方程 b*y=e的解是 b的右逆元 ， 從而 b有逆元 。 這個定理說明，在群的定義中幺元及逆元的條件可用方程有解來代替。 2022/2/13 計算機學院 43/226 定理 1) 群 G中每個元素都是可消去的 ， 即運算滿足消去律 ； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無其它冪等元； 3) 群 G的運算表中任意一行 (列 )都沒有兩個相同的元素 （ 重復元素 ） ； 2022/2/13 計算機學院 44/226 定理 1) 群 G中每個元素都是可消去的 ， 即運算滿足消去律 ； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無其它冪等元； 3) 群 G的運算表中任意一行 (列 )都沒有兩個相同的元素 （ 重復元素 ） ； 證明： 由于群 G中每個元素都有逆元 a1， 由 a*b=a*c ? a1*a*b=a1*a*c，即 b=c 2022/2/13 計算機學院 45/226 定理 1) 群 G中每個元素都是可消去的 ， 即運算滿足消去律； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無其它冪等元； 3) 群 G的運算表中任意一行 (列 )都沒有兩個相同的元素 （ 重復元素 ） ； 2022/2/13 計算機學院 46/226 定理 1) 群 G中每個元素都是可消去的 ， 即運算滿足消去律； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無其它冪等元； 3) 群 G的運算表中任意一行 (列 )都沒有兩個相同的元素 （ 重復元素 ） ； 證明：（反證法） 假設 a是群 G中非幺元的冪等元，即 a*a＝ a，且 a≠e 。 2022/2/13 計算機學院 47/226 定理 1) 群 G中每個元素都是可消去的 ， 即運算滿足消去律； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無其它冪等元； 3) 群 G的運算表中任意一行 (列 )都沒有兩個相同的元素 （ 重復元素 ） ； 2022/2/13 計算機學院 48/226 定理 1) 群 G中每個元素都是可消去的 ， 即運算滿足消去律； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無其它冪等元； 3) 群 G的運算表中任意一行 (列 )都沒有兩個相同的元素 （ 重復元素 ） ； 證明： （反證法） 假設群 G的運算表中某一行 (列 )有兩個相同的元素，設為 a，并設它們所在的行表頭元素為 b，列表頭元素分別為 c1,c2，這時顯然有 c1≠c 2。 2022/2/13 計算機學院 49/226 補充 ?例： 構造一個 3階群 。 構造映射 ， 使得對任意 x∈ G， ，令 ， 則對于函數(shù)的復合運算 “ ” ， H, 是群 。 2022/2/13 計算機學院 51/226 ? 例： 設 X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運算 “ 。 是群 。 g也是雙射 ， 因此 f。 （ 2） 結合律：由函數(shù)的 運算 “ 。 2022/2/13 計算機學院 52/226 ? 例： 設 X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運算 “ 。 是群 。 g也是雙射 ， 因此 f。 （ 2） 結合律：由函數(shù)的 運算 “ 。 2022/2/13 計算機學院 53/226 ? 例： 設 X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運算 “ 。 是群 。 g也是雙射 ， 因此 f。 （ 2） 結合律 ： 由函數(shù)的 運算 “ 。 2022/2/13 計算機學院 54/226 ? 例： 設 X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運算 “ 。 是群 。 f=f。 的幺元 。 f=f。 ” 的逆元 ， 即 S的任意元素都有逆元 。 是群 。 ” 是函數(shù)的復合運算 ， 證明 S， 。 證明： （ 續(xù) ） （ 3） 幺元 ： 恒等映射 IX ∈S, 且 ?f∈S ， 有： IX。 IX=f ， 因此 IX是 S， 。 （ 4） ?f,g∈S 是雙射 ， 則 f的逆函數(shù) f1存在 ， f1也 是雙射 ， 即 f1∈S ， 且有： f1。 f1=IX， 因此 ， f的逆函數(shù) f1就是 f關于 “ 。 綜合 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 知 S， 。 2022/2/13 計算機學院 56/226 ?課外練習 ： 設 A=R{0， 1}， 在 A上定義 6個映射如下：對于任意 x∈A 有： 令 G={f1,f2,f3,f4,f5,f6}。 ” 構成群 G， 。 1 2 34 5 61( ) , ( ) , ( ) 1 ,11( ) , ( ) , ( )f x x f x f x xxxxf x f x f xx x x? ? ? ??? ? ???2022/2/13 計算機學院 57/226 子群 ? 定義 設 G， *是一個群 ， S是 G的一個非空子集 ， 若 S也是群 ， 則稱 S， *是 G， *的 一個子群 。 ? 另外 ， 由群中的一個元素也可生成一個子群 。 2022/2/13 計算機學院 58/226 子群 ? 定義 設 G， *是一個群 ， S是 G的一個非空子集 ， 若 S也是群 ， 則稱 S， *是 G， *的一個子群 。 ? 另外 ， 由群中的一個元素也可生成一個子群 。 2022/2/13 計算機學院 59/226 子群 ? 定義 設 G， *是一個群 ， S是 G的一個非空子集 ， 若 S也是群 ， 則稱 S， *是 G， *的一個子群 。 ? 另外 ， 由群中的一個元素也可生成一個子群 。 2022/2/13 計算機學院 60/226 ? 定理 設 G， *是一個群 ， 對任意的 a∈G ， 令 S＝ {an|n∈Z ， Z是整數(shù) }， 則 S， *是 G， *的子群 。 對任意的 an， am∈S ， 則 an*am＝ an+m， 由 n,m∈Z ， 有 n+m∈Z ， 所以 an+m∈S ， 即運算是封閉的；由 S是 G的子集可得結合律也成立；由于 e=a0?S ， 所以 S中有幺元； 又 ∵ an ?S有逆元 an使 an*an=e ∴ 綜上所述 ， S， *是 G， *的子群 。 證明： 因為 a∈S ， 所以顯然 S是 G的 非空子集 。 2022/2/13 計算機學院 62/226 ? 定理 設 G， *是一個群 ， 對任意的 a∈G ， 令 S＝ {an|n∈Z ， Z是整數(shù) }， 則 S， *是 G， *的子群 。 對任意的 an， am∈S ， 則 an*am＝ an+m， 由 n,m∈Z ， 有 n+m∈Z ， 所以 an+m∈S ， 即運算是 封閉的 ；由 S是 G的子集可得結合律也成立；由于 e=a0?S ， 所以S中有幺元； 又 ∵ an ?S有逆元 an使 an*an=e ∴ 綜上所述 ， S， *是 G， *的子群 。 證明： 因為 a∈S ， 所以顯然 S是 G的非空子集 。 2022/2/13 計算機學院 64/226 ? 定理 設 G， *是一個群 ， 對任意的 a∈G ， 令 S＝ {an|n∈Z ， Z是整數(shù) }， 則 S， *是 G， *的子群 。 對任意的 an， am∈S ， 則 an*am＝ an+m， 由 n,m∈Z ， 有 n+m∈Z ， 所以 an+m∈S ， 即運算是封閉的；由 S是 G的子集可得結合律也成立；由于 e=a0?S ， 所以 S中有幺元； 又 ∵ an ?S有逆元 an使 an*an=e ∴ 綜上所述 ， S， *是 G， *的子群 。例如在 Z， +中 ， 由元素 2生成的子群 (2)是由全體偶數(shù)關于加法構成的群 ， 而由元素 1生成的子群正好是 Z本身 。 證明： 1)對 ?a?S， 由于 eS是 S的幺元 ， 所以有： eS*a＝ a*eS＝ a ① 又 S?G,所以 a?G,由 eG是 G的幺元 ， 所以有： eG*a＝ a*eG＝ a ② 由 ① 、 ② 有： eS*a＝ a*eS＝ a＝ eG*a＝ a*eG， 由于 G滿足消去律 ， 所以有