【文章內(nèi)容簡介】 次數(shù) 上下盤距離 H（ cm） 上盤孔間距 a（ mm） 下盤孔間距 b(mm) Hi ai 33ra? bi 33Rb? 1 2 3 4 5 平 均 ③ 周期測(cè)量：秒表最小分度 值 ；零點(diǎn)修正值 表 5 三線擺測(cè)量條形復(fù)擺是周期實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 項(xiàng)目 次數(shù) 下盤的周期 T0（ s） 下盤加復(fù)擺后的周期 T（ s） 50T0i T0i 50Ti Ti 1 2 3 4 5 平 均 ④ 轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離 L= 計(jì)算： ? ? 220 0 0 02J = J = 4 gRrJ m m T m TH? ??? ? ???總 帶入數(shù)據(jù)得： J= 由平行軸定理得過轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J 轉(zhuǎn) =J+md2= 分別用單擺復(fù)擺測(cè)量本地重力加速度的對(duì)比研究 第 12 頁（共 20 頁） 復(fù)擺測(cè)量重力加速度原理 如圖 右圖所示 ,剛體繞固定軸 O 在豎直平面內(nèi)作左 右擺動(dòng)， C 是該物體的質(zhì)心，與軸 O 的距離為 h ， ? 為其擺動(dòng)角度。若規(guī)定右轉(zhuǎn)角為正，此時(shí)剛體所受 力矩與角位移方向相反，則有 ?sinmg hM ?? ， (1) 又據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，該復(fù)擺又有 ???IM? ， ( I 為該物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ) （ 2） 由（ 1）和（ 2）可得 ??? sin2???? （ 3） 其中Imgh?2?。若 ? 很小時(shí)（ ? 在 5176。以內(nèi)）近似有 ??? 2???? ， （ 4） 而 2T ??? （ 5） 通過上述幾個(gè) 方程 整理可得 說明該復(fù)擺在小角度下作簡諧振動(dòng)， 該復(fù)擺振動(dòng)周期為 mghIT ??2 ， （ 6） 因此對(duì)于已知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的復(fù)擺，只要測(cè)出復(fù)擺的轉(zhuǎn)動(dòng)周期和轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離就可以測(cè)出重力加速度為 224 Ig mhT?? （ 7） 復(fù)擺測(cè)量 重力加速度實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)所用器材 秒表，刻度尺 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 (1) 對(duì)于已知質(zhì)量的復(fù)擺，用刻度尺測(cè)出轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離 h。 (2) 測(cè)量復(fù)擺擺動(dòng)周期 T 。拉開復(fù)擺釋放，使復(fù)擺在豎直平面內(nèi)作小角度（擺角 ?5?） 圖 4 復(fù)擺測(cè)量重力加速度原理 ? hCmgO xy?復(fù)擺 第 13 頁（共 20 頁） 擺動(dòng)。用停表測(cè)出小球擺動(dòng) 50 個(gè)周期的時(shí)間 t（ =50T），重復(fù)測(cè)量 5 次 梯形復(fù)擺測(cè)量數(shù)據(jù) 質(zhì)量 m= I= 表 6 梯形復(fù)擺測(cè)量重 力加速度數(shù)據(jù) 次數(shù) 50T（ s） T(s) h(cm) 1 2 3 4 5 平均 將數(shù)據(jù)帶入得 221 4 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 7 4 3 9 2 3 1 9 6 9 . 7 8 4 6 0 4 /0 . 0 7 3 2 8 2 0 . 1 3 1 9 0 . 8 5 3 2Ig N kgmhT ? ??? ? ??? 222 4 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 7 4 3 9 2 3 1 9 6 9 . 7 8 7 4 3 9 /0 . 0 7 3 2 8 2 0 . 1 3 1 8 0 . 8 5 3 4Ig N kgmhT ? ??? ? ??? 223 4 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 7 4 3 9 2 3 1 9 6 9 . 7 7 5 4 3 6 /0 . 0 7 3 2 8 2 0 . 1 3 1 9 0 . 8 5 3 6Ig N kgmhT ? ??? ? ???224 4 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 7 4 3 9 2 3 1 9 6 9 . 7 7 2 6 0 9 /0 . 0 7 3 2 8 2 0 . 1 3 2 0 . 8 5 3 4Ig N kgmhT ? ??? ? ???225 4 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 7 4 3 9 2 3 1 9 6 9 . 7 8 0 0 1 8 /0 . 0 7 3 2 8 2 0 . 1 3 1 9 0 . 8 5 3 4Ig N kgmhT ? ??? ? ???224 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 7 4 3 9 2 3 1 9 6 9 . 7 8 0 9 3 5 /0 . 0 7 3 2 8 2 0 . 1 3 1 9 0 . 8 5 3 3 6Ig N kgmhT ? ??? ? ??? 條形復(fù)擺測(cè)量數(shù)據(jù) 條形復(fù)擺質(zhì)量 m= , I= 表 7 條形復(fù)擺測(cè)量重力加速度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 次數(shù) 50T（ s） T(s) h(cm) 1 2 3 分別用單擺復(fù)擺測(cè)量本地重力加速度的對(duì)比研究 第 14 頁（共 20 頁） 4 5 平均 221 4 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 2 2 0 6 7 7 4 8 3 9 . 7 8 2 3 2 1 /0 . 0 5 7 9 3 0 . 1 1 7 8 0 . 8 4 9 6Ig N kgmhT ? ??? ? ???222 4 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 2 2 0 6 7 7 4 8 3 9 . 7 8 6 0 2 5 /0 . 0 5 7 9 3 0 . 1 1 7 7 0 . 8 4 9 8Ig N kgmhT ? ??? ? ???223 4 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 2 2 0 6 7 7 4 8 3 9 . 7 7 7 7 1 7 /0 . 0 5 7 9 3 0 . 1 1 7 8 0 . 8 4 9 8Ig N kgmhT ? ??? ? ???224 4 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 2 2 0 6 7 7 4 8 3 9 . 7 7 4 0 2 4 /0 . 0 5 7 9 3 0 . 1 1 7 9 0 . 8 4 9 6Ig N kgmhT ? ??? ? ???225 4 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 2 2 0 6 7 7 4 8 3 9 . 7 8 2 3 2 1 /0 . 0 5 7 9 3 0 . 1 1 7 8 0 . 8 4 9 6Ig N kgmhT ? ??? ? ???224 4 3 . 1 4 1 5 9 2 6 0 . 0 0 1 2 2 0 6 7 7 4 8 3 9 . 7 8 0 4 7 9 /0 . 0 5 7 9 3 0 . 1 1 7 8 0 . 8 4 9 6 8Ig N kgmhT ? ??? ? ??? 4 單擺和復(fù)擺測(cè)量本地重力加速度的對(duì)比 單擺 復(fù)擺測(cè)量重力加速度原理對(duì)比 單擺法以單擺周期公式 2/T L g?? 為基礎(chǔ)對(duì)多個(gè)周期的時(shí)間以及擺長進(jìn)行測(cè)量，然后計(jì)算重力加速度 g。復(fù)擺法以擺幅較小時(shí)剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的周期公式 2/T I mgl?? 為基礎(chǔ)進(jìn)行測(cè)量重力加速度 g。測(cè)量過程主要測(cè)量復(fù)擺擺動(dòng)周期 T 和質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離 l 。就從公式本身 來看單擺和復(fù)擺測(cè)量重力加速度都比較簡單 ，而且需要的測(cè)量工具也相同。但從公式中所需要測(cè)量的量 來看復(fù)擺稍微要復(fù)雜一點(diǎn)， 涉及的知識(shí)量要廣泛。 圖 5 復(fù)擺測(cè)量重力加速度簡圖 39。xmg? O?x39。yylC39。O?單擺復(fù)擺測(cè)量重力加速度的對(duì)比 第 15 頁（共 20 頁） 再來看看原理上單擺和復(fù)擺哪個(gè)測(cè)量重力加速度的值要精確。如圖質(zhì)量為 m 的復(fù)擺繞通過某點(diǎn) O 的水平軸做微小振動(dòng)， O 為懸點(diǎn)， OC l? 為懸點(diǎn)到質(zhì)心 C 的距離 設(shè)此復(fù)擺繞通過 O 點(diǎn)的水平軸線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 0I ,回轉(zhuǎn)半徑為 0k ，則由 0MI??得復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為 200sinm g l I m k? ? ???? ? ? （ 1） 由此得 20 sin 0k gl?????? （ 2） 但由平行軸定理，知 2 2 20 ck k l??，式中 ck 為通過質(zhì)心 C 的回轉(zhuǎn)半徑。在小角度時(shí)有 sin??? 。這樣（ 2）式就變?yōu)? 22cglkl?????? ? （ 3） 式（ 3）是標(biāo)準(zhǔn)的諧振 動(dòng)方程，故其通解為 22s in ( )c glAtkl????? （ 4） 中 A 為振幅，在此處是很微小的， ? 是初相， A 與 ? 之值均可由起始條件決定，振動(dòng)周期則為 22 022ck l ITg l m g l????? （ 5） 從上面（ 4）和（ 5）可以看出，復(fù)擺和單擺所具有的形式很類似，所以單擺可以說是復(fù)擺的一個(gè)特例，即此時(shí)擺的 全部質(zhì)量都集中在 OC 延長線的某點(diǎn) 39。O 上。如139。=OO l ，則 1l 叫等值擺長，因長為 1l 的單擺和對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 0I 、質(zhì)心和懸點(diǎn)間的距離為 l 的復(fù)擺有相同的周期，故 39。O 又叫振動(dòng)中心。因 2201 cI k ll ml l???或21 cklll??，故如以 39。O 為 懸點(diǎn)，則 39。 22 2 22 2 2 2 21( ) ( )ccc c cO k k lI m k m l l m k m m kl l?? ? ? ? ? ? （ 6） 分別用單擺復(fù)擺測(cè)量本地重力加速度的對(duì)比研究 第 16 頁（共 20 頁） 而其振動(dòng)周期為 2 2 239。 2 2122 ( ) / ( ) 2cccm k k lT k l m g l ll g l?? ?? ? ? ? (7) 與以 O 為懸點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)周期相同，故懸點(diǎn)和振動(dòng)中心可以相互交換而周期不變。利用這個(gè)關(guān)系，可以比較準(zhǔn)確的測(cè)量重力加速度 g 的數(shù)值，只要能找到具有相同周期的兩點(diǎn) O 及 39。O 的位置，即可量出等值擺長 1l ，這比用單擺測(cè) g 的方法好，因單擺的長度 l 不易 ，容易造成誤差 [19]。 單擺復(fù)擺測(cè)量重力加速度 實(shí)驗(yàn)儀器 制作對(duì)比 在單擺和復(fù)擺制作 方面來看，單擺的制作上選材時(shí)選擇細(xì)而不不易伸長的線，比如用單根尼龍線，絲線等。而擺球應(yīng)選擇密度大的金屬球，直徑最好不超過 2 cm。而且為了盡量減少誤差，懸線應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于擺球的直徑為好。 對(duì)于復(fù)擺的制作，在選材上的考慮多種因素 例如要考慮所選材料是否便于加工，所選材料是否有利于 對(duì)于減少摩擦力。另外在制作過程中應(yīng)充分考慮，如何盡量減少復(fù)擺對(duì)于轉(zhuǎn)軸的摩擦力。 對(duì)于復(fù)擺轉(zhuǎn)軸處的轉(zhuǎn)孔應(yīng)保證垂直于復(fù)擺所在的平面，這樣才能保證復(fù)擺能在豎直的平面上運(yùn)動(dòng) [14]。 單擺復(fù)擺測(cè)量重力加速度操作難易程度對(duì)比 在測(cè)量重力加速度的操作上，都只需啟動(dòng)單擺或者復(fù)擺，然后測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)周期和 擺長。但是對(duì)于單擺的擺長包括兩部分，一部分是懸線的長度，另一部分是懸求的直徑。而且在啟動(dòng)單擺時(shí)，單擺很容易做圓錐擺運(yùn)動(dòng)。 當(dāng)單擺做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)如圖 所示： 圓錐擺的擺線與豎直 方向的夾角? ，則擺動(dòng)周期為 cos /T L g?? ，比相同擺長的單擺周期小，這時(shí)候測(cè)得的重力加速度值比標(biāo)準(zhǔn)值大。 因此在啟動(dòng)單擺是應(yīng)充分小心，避免單擺做圓錐擺運(yùn)動(dòng)。相比單擺而言，復(fù)擺的啟動(dòng)要容易。 而復(fù)擺在操作時(shí)主要是要調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)軸的水平 ，從而保證復(fù)擺是在豎直的平面運(yùn)動(dòng) [17]。 單擺復(fù)擺測(cè)量重力加速度精確 度對(duì)比 利用單擺和復(fù)擺測(cè)量的重力加速度如下表 圖 6 圓錐擺示意圖 ? 單擺復(fù)擺測(cè)量重力加速度的對(duì)比 第 17 頁（共 20 頁） 表 8 單擺復(fù)擺測(cè)量本地重力加速度數(shù)據(jù)對(duì)比 實(shí)驗(yàn) 儀器 單擺 ??g 梯形復(fù)擺 ??g 條形復(fù)擺 ??g 測(cè)量結(jié)果（ N/kg） 測(cè)量誤差（與荊州 重力加速度 對(duì)比） % % % 從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中可以看出 ，在外界環(huán)境相同的情況下，利用單擺和復(fù)擺測(cè)出的重力加速度與本地重力加速度的公認(rèn)值相比均存在一定的誤差。但就測(cè)量結(jié)果比較來看 利用復(fù)擺測(cè)量的重力加速 度的結(jié)果的精確程度相比用單擺測(cè)量的重力加速度結(jié)果要精確。分析器原因主要有，單擺在 測(cè)量 過程中容易做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，另外在測(cè)量過程中，用單擺測(cè)量擺長時(shí)需要測(cè)量兩個(gè)量即懸線的長度和球的直徑，而復(fù)擺只要測(cè)量質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸之間的距離。這樣就在測(cè)量過程中造成單擺的誤差要大的一個(gè)原因。 而復(fù)擺由于實(shí)驗(yàn)條件有限只能靠秒表來測(cè)量時(shí)間。誤差主要源于轉(zhuǎn)軸的水平調(diào)節(jié)。 分別用單擺復(fù)擺測(cè)量本地重力加速度的對(duì)比研究 第 18 頁（共 20 頁） 5 結(jié)論 通過比較單擺和復(fù)擺，發(fā)現(xiàn)單擺和復(fù)擺在測(cè)量 重力加速度 上各有