【文章內(nèi)容簡介】 (1)二維波導(dǎo)結(jié)構(gòu)：直線型、錐型、曲線型、Y型分枝、透鏡、多邊形；(2)用戶自定義的錐形波的位置、寬度、高度和沿傳播軸方向的折射率；(3)位置坐標也可直接設(shè)定：設(shè)定絕對坐標值或通過設(shè)定與任何其他光波導(dǎo)器件的位移和角度；(4)二維和三維的有限時域差分仿真；(5)連續(xù)波或脈沖激發(fā)。3 FDTD的基本原理和計算方法 FDTD基本原理時域有限差分法（FDTD）是基于對偏微分波動方程的離散化處理。通過時間和空間的離散化，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，繼而采用數(shù)值計算方法，求解波傳播過程中各個離散點的所有振動參數(shù)與時間的函數(shù)關(guān)系。用時域有限差分法對Maxwell方程進行離散化處理，不會導(dǎo)致過多的計算誤差，且能處理任意幾何形狀的光子晶體。另外，通過傅里葉變換，以此計算可包含較大頻率范圍的結(jié)果，能夠直觀地給出光在光子晶體的傳輸行為，得出與實驗一直的精確結(jié)果。時域有限差分法不但可以計算周期結(jié)構(gòu)中的帶結(jié)構(gòu)，也可以計算有限結(jié)構(gòu)的透射、反射等特性。FDTD的基本原理，即是將麥克斯韋方程中的兩個旋度方程，轉(zhuǎn)化為一組差分方程來求解，將計算區(qū)域劃分為很多個小的基元，即Yee原胞。對每個原胞上的電場和磁場在時間和空間步長上分別取樣，形成Yee原胞的網(wǎng)格。這種方法的主要步驟就是：（1)將Maxwell方程分解成6個分量的標量方程；（2)將空間沿軸向分割為，表示的小單元——Yee格點，為時間變元，則時空點用()表示，簡單地用（)表示；（3)用中心有限差分式來表示函數(shù)對空間和時間的偏導(dǎo)數(shù)，精確到二階。如此就可以得到Maxwell方程的FDTD形式，然后再附加穩(wěn)定性條件和Mur邊界條件，使求解的有限空間與無限空間等效，向邊界行進的波在邊界處保持外向行進特征，無明顯反射，不會引起內(nèi)部空間場的畸變[26]。這樣處理后就可求解Maxwell方程了。 FDTD的計算方法根據(jù)上面的描述，我們來利用Maxwell方程組詳細推導(dǎo)一下：Maxwell方程組中有公式： ， （）其中，在各向同性介質(zhì)中，在直角坐標系中，上兩式可以寫為 （） （）式的FDTD差分分離形式是類似的，令代表或的某一分量，在空間和時間上的離散?？杀硎緸橛挚梢员硎緸殛P(guān)于時間和空間的一介偏導(dǎo)數(shù)： （） 根據(jù)（）式，將各點的微商用差商來代替，就將一定空間的微分問題轉(zhuǎn)換為有限個差分方程的求解。 對于（2）式可做進一步處理[27]，以為例，考慮到介質(zhì)中，電場和磁場在各節(jié)點的分布就可以計算出來，即Yee原胞，： Yee原胞示意圖 （）可以清晰的看出，在點、（）時刻的值，由該點前一時刻的值和環(huán)繞該點的四個磁場分量在前后半個時刻的值所決定。同時，為了保證迭代收斂得到穩(wěn)定解，、的選擇需要滿足穩(wěn)定性條件[28] （）利用FDTD方法計算光子晶體結(jié)構(gòu)能帶的步驟為：①將計算區(qū)域劃分為很多個小網(wǎng)格，將每個網(wǎng)格的參數(shù)(這里是介電常數(shù))標記為對應(yīng)的實際結(jié)構(gòu)的參數(shù)值；②設(shè)置激勵源，即在計算區(qū)域的一個低對稱位置點加入一個高斯脈沖，高斯脈沖的頻譜范圍一定要包含著所要計算的頻率段；③(c)(d)所示，在二維的正方晶格結(jié)構(gòu)里，邊界分為2種情況，左右2個邊界和上下2個邊界。以左邊界為例，邊界的右邊是計算區(qū)域，而左邊是截斷的域，也就是實際沒有進行計算的區(qū)域，但是由FDTD的公式可知，要想計算Bloch邊界某一點的下一個時間步的場值，必須用到點1和點2的當前時刻的場值。由于點2不在計算區(qū)域內(nèi)，因此不能直接得到點2的當前時刻的場值，注意到點3與點2的距離正好為一個晶格常數(shù)a，兩者相差的晶格矢量為，由定理可 (a)光子晶體的正方形排列 (b)正方晶格的最小布里淵區(qū)(c)的邊界 (d)相鄰元胞的對應(yīng)點知，這兩點的場值相差一個相位因子，即。同理可得剩下的3個邊界的設(shè)置形式右邊界，下邊界，上邊界；④值取樣路徑的設(shè)置．對于正方晶格的最小布里淵區(qū)，只需取正方區(qū)域的，(d)所示的三角形的路徑取樣，得到一系列的值。通過在計算足夠長的時間步(通常取)后，便會記錄下一個很長的時間序列，通過快速傅里葉變換，就可以得到頻率域的結(jié)果。本文主要運用時域有限差分法來研究入射線缺陷模式下光子晶體透射的作用。4光子晶體缺陷模式共振透射機制的研究 光子晶體缺陷模式我們類比半導(dǎo)體晶格缺陷結(jié)構(gòu)和電子缺陷能級的概念來定義光子缺陷模式。在前面介紹了完美光子晶體的結(jié)構(gòu)，其中設(shè)想原子都是嚴格地處在規(guī)則的格點上。實際的光子晶體總是存在著各種各樣的缺陷，偏離了完美晶格的情況。在完全禁帶或模式禁帶頻率范圍內(nèi)，破壞介質(zhì)周期性分布的缺陷結(jié)構(gòu)是光子晶體研究和應(yīng)用的核心內(nèi)容。如果存在光子晶體缺陷模式（頻率處于完全禁帶或模式禁帶范圍內(nèi)的缺陷結(jié)構(gòu)本征電磁模式）和缺陷帶（所有缺陷模式覆蓋的禁帶頻率范圍），那么頻率處于缺陷帶的電磁波能夠被長時間（低損）地強局域在光子晶體的缺陷結(jié)構(gòu)中。因此光子晶體的點缺陷（孤立、（a））能夠構(gòu)建固有頻率為點缺陷本征頻率的高品質(zhì)因子（高Q）諧振腔，被稱為光子晶體微腔；光子晶體的線缺陷（（b））在缺陷帶能夠?qū)崿F(xiàn)低損波導(dǎo)的功能，被稱為光子晶體波導(dǎo)，他們發(fā)展了頻率禁帶約束電磁波的物理機制，為控制波長相對較短的光波提供了不同的思路。（a）(b) 光子晶體缺陷結(jié)構(gòu)能帶的計算由于本文引人了線缺陷，破壞了原有晶體的周期對稱性，原采用的原胞不再適用。選取一個可以重復(fù)的周期性結(jié)構(gòu)，將缺陷包含在內(nèi)消除缺陷的影響，所以引入超晶胞結(jié)構(gòu)。1970年美國IBM實驗室的江崎和朱兆祥提出了超晶格的概念。在本文中，我們設(shè)計一種由正方格子組成2121的線缺陷結(jié)構(gòu)介質(zhì)柱組成的光子晶體，介質(zhì)柱折射率為，線缺陷處折射率，選取柱子半徑R=（為晶格常數(shù)），可以計算得到其能帶圖。（a）為本文設(shè)計格子的折射率分布圖。（b）以= 豎排長度為11的多格點作為重復(fù)單元的超晶胞，（c）。（a）（b）（c）在軟件Rsoft的Bandsolve模塊中設(shè)置上述光子晶體的參數(shù)，通過計算可以得到該線缺陷格子下的能帶圖（）。（）。但是由于缺陷格點的影響導(dǎo)致了該缺陷態(tài)下禁帶的歸一化頻率的能帶邊界是不精確的。 超晶胞的能帶結(jié)構(gòu)圖本文中，我們設(shè)計的這種線缺陷光子晶體。但為了研究它的線缺陷模式，我們計算此帶缺陷結(jié)構(gòu)的光子晶體在x方向的投影能帶，（即對波矢沿缺陷方向分量kx進行掃描），以便得到光子晶體上的缺陷模式信息。：圖中可以清晰的看出，，而是依然存在著少數(shù)缺陷模式，可以得到如果選取入射頻率在缺陷模式范圍內(nèi)，在下面的模擬中仍然可以有光透過該晶體結(jié)構(gòu)。分析其原因，由于該結(jié)構(gòu)破壞了原有的禁帶結(jié)構(gòu)，在原有的禁帶結(jié)構(gòu)中存在某些模式的光波，具有濾波的功能。為了驗證缺陷結(jié)構(gòu)的影響，我們將該光子晶體=0處的格點折射率改為與其他格點一致的完美光子晶體，從而得到在沒有線缺陷的影響下。從上圖中可以看出，在消去晶體線缺陷的影響的前提下，晶體在kx方向上的投影能帶圖就在頻率范圍（）。這證明，正如我們上面的分析，由于晶體空間周期對稱性在線缺陷處發(fā)生中斷。 小結(jié)，當光子晶體存在線缺陷時，導(dǎo)致該晶體空間周期對稱性破壞，該結(jié)構(gòu)的能帶發(fā)生了顯著的變化：當滿足一定條件時，便會在原來的帶隙內(nèi)可能會出現(xiàn)一些光波模式， 我們可以利用缺陷結(jié)構(gòu)的這一特性對光子晶體進行修飾，從而可以得到目標頻率或者模式，進而設(shè)計相應(yīng)的功能器件，例如光濾波器，分束器等。 光子晶體缺陷模式下透射現(xiàn)象的模擬與研究當在光子晶體中引入缺陷后，由于缺陷對原有空間的對稱性產(chǎn)生微擾， 導(dǎo)致在原來電磁波對光子晶體不透明的禁帶中， 可能會有局域模產(chǎn)生， 進而在一定的條件下可以產(chǎn)生共振現(xiàn)象。本文將用時域有限差分方法（FDTD）[2930]作為理論主要的研究工具，給出了一些模擬計算結(jié)果。時域有限差分法（FDTD）能夠很直觀地給出光在光子晶體中的傳輸行為和光場分布情況，它能處理任意幾何形狀的光子晶體，它的另外一個優(yōu)點是可以通過傅立葉變換（FFT/DFT），一次計算出包含很大頻率范圍的結(jié)果。我們將分別考慮對線缺陷折射率改變、入射光頻率改變、光子晶體層數(shù)以及表面修飾對線缺陷光子晶體透射行為的影響，并利用光強度探測器來測量光束的透射和反射情況。，下面我們來通過Rsoft 中的FDTD模擬來形象分析這種模式變化對透射行為的影響，并且嘗試解釋實驗結(jié)果。我們選取光子晶體格點半徑R=，折射率n=，介電常數(shù)，令線缺陷處的折射率為 n，歸一化角頻率為==（有利于光源與晶體的耦合），該光束在與軸方向平行的角度入射到光子晶體處。令缺陷處折射率n 為變量，折射率n從 ，得到透射隨光子晶體缺陷處折射率的改變的變化的情況。透射圖如下圖：(a)n= (b) n=(c)n= (d) n= (e) n= (f) n= (g) n= (h) n= (a)～(h)分別描述了線缺陷處的折射率n=, , , , , , , 。=。從上面FDTD的模擬試驗中得出，入射光的透射情況隨著線缺陷處折射率的不同，其透射效果不同。從圖中可以得到折射率 ～；折射率 ～，且透射率逐漸改變；折射率 ～，只有反射；～，透射很強，反射很弱。上述現(xiàn)象的原因不難分析，n，入射光不能透過光子晶體是由于歸一化頻率=，即在相應(yīng)的折射率下，在=。反之可得，入射光=。，折射率 n=，該線缺陷超晶胞所對應(yīng)的投影能帶，顯然在=，從而得到驗證。在上述過程中對折射率 n進行掃描，步長Δn=。（a）(b) (c)（a）描述在某一波矢 k下，歸一化頻率隨折射率改變情況，圖（b）、（c）分別對(a)～～。（b）、（c）分別對（a）～～，從而得到結(jié)論，圖中顯示的掃描點的總體趨勢均為下降， 下，對應(yīng)的歸一化頻率隨折射率的增大而逐漸降低。，光波在線缺陷中顯然是以駐波形勢存在，缺陷中能量分布具有一定的周期性。可以驗證晶體內(nèi)駐波周期性的特性，觀測晶體內(nèi)駐波的波數(shù)，并驗證其中=常數(shù)。我們可以綜合線缺陷光子晶體折射率對應(yīng)的透射圖得到值和線缺陷折射率相應(yīng)的能帶圖得到值。 (a) (b)(c) (d)（a）～（d）分別描述的為線缺陷光子晶體在線缺陷處折射率n=，,。 =，折射率n=， 。，n=。通過計算可以得到入射光的波長分別為，,和。可以驗證=常數(shù)量級，。為了驗證這一結(jié)果，（d）時，n=，，與從透射圖中讀出的半波數(shù)基本相同。因此在線缺陷處透射光仍滿足=常數(shù) 光子晶體缺陷模式下隨入射頻率改變的透射現(xiàn)象此處我們?nèi)允褂蒙鲜鲈O(shè)計的缺陷光子晶體，但缺陷處折射率，選取柱子半徑R=（為晶格周期）。，這意味著當選取歸一化頻率在缺陷模式頻率范圍內(nèi)，晶體可能出現(xiàn)透射光，存在兩種缺陷模式。，通過光子晶體的光為單模；同理。 光子晶體線缺陷中的缺陷模式選取在投影能帶中的頻率，觀測其透射情況。分別選取單模和多模光的頻率若干，；、、。通過FDTD數(shù)字模擬，并用探測器分別探測透射光、反射光和缺陷處能量分布，得到的示意圖如下： （a） （b）(c) (d)(e) (f)(g) (h)（a）～（d）分別描述單模頻率=、透射率和反射率的數(shù)值變化情況；（e）～（h）分別描述多模頻率=、透射率和反射率的數(shù)值變化情況 （a）～（h）中可以發(fā)現(xiàn)，用FDTD進行數(shù)值模擬時，入射光開始時耦合效果都較好，但是隨著時間的延續(xù)，由于入射光歸一化頻率的差異，導(dǎo)致光透射光子晶體后的透射率和反射率不同，入射光在光子晶體中的本征模式分布不同和入射光在線缺陷后端與空氣的反射導(dǎo)致了光子晶體出透射的差別。當歸一化頻率=、入射光可以很好的透過光子晶體，透射率較高。而對應(yīng)的=、入射光的反射率較高，透射效果不好。：（a） （b）(c) (d)(e) (f)(g) (h) （a）～（c）分別描述單模頻率=；（d）描述多模頻率=；（e）～（f）描述多模頻率=；（g）～（h）描述多模頻率=。 從圖中可以看出光子晶體在單模透射時有相對較好的耦和效率和透射效果。而從線缺陷本征場分布來看，單模情況下本征場（a）～（c）主要分布在線缺陷中央且格點處不存在本征解；多模情況下本征場（d）～（h）除單模的場分布外還有均勻分布在線缺陷格點兩側(cè)的空隙處的本征解。從本征圖和出射圖對比得出，除在邊界頻率= 處，在投影能帶中的單模頻率都有很好的耦合效率和透射情況。但是在多模透射過程中，光子晶體由于兩種本征解的相互影響導(dǎo)致了入射光子晶體的透射率低，反射率高。這里由于時間較短沒有對多模情況下的透射和反射做出更深的探索， 光子晶體缺陷模式下隨晶體層數(shù)改變的透射現(xiàn)象 通過上述透射情況的模擬發(fā)現(xiàn)，光在線缺陷光子晶體里均形成了較好的駐波情況，所以可以猜想認為改變光子晶體層數(shù)來達到影響光子晶體的透射情況。駐波的形成與光子晶體的長度和入射光的波長有很大影響。試驗?zāi)M如下： 我們利用歸一化頻率=，透過仍為我們上述設(shè)計的光子晶體，缺陷處折射率，選取柱子半徑R=(為晶格周期），但不斷改變其透過的層數(shù)，從11層逐漸增加到22層，只列出11層、（a）～（c）；在不改變光子晶體基本結(jié)構(gòu)的情況下，改變?nèi)肷涔獾臍w一化頻率=，仍從11層逐漸改變到22層，（d）～（f）：