【文章內(nèi)容簡介】 (d θ 0 2120?????? ????? rrπω v tω2 πrπω v tω2 πθ t2 212021)()(即 從而有 ?????? ???? rrπω v tωπθn 212 )(12我們希望建立一個(gè)錄像帶已錄像時(shí) 間 t與計(jì)數(shù)器計(jì) 數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系。為建立一個(gè)正確的模型，首 先必須搞清哪些量是常量，哪些量是變量。首先，錄像 帶的厚 度 W是常量，它被繞在一個(gè)半徑 為 r的園盤上，見圖。磁帶轉(zhuǎn)動中線速 度 v顯然也是常數(shù)，否則圖象聲音必然會失真。此外，計(jì)數(shù)器的讀 數(shù) n與轉(zhuǎn)過的圈數(shù)有關(guān)，從而與轉(zhuǎn)過的角 度 θ成正比。 r θ R l ?????? ???? rrπω v tωπθn 212 )(12 此式中的三個(gè)參數(shù) ω、 v和 r均不易精確測得，雖然我們可以從上式解出 t與 n的函數(shù)關(guān)系，但效果不佳，故令 則可將上式簡化為： πωvα ? v/πrβ ?2?? ?ββtαn ???故 nα φnαββαnt 21 222????????? ??令 21 αa ?αβb 2? 上式又可化簡記成 t= an2+bn t= an2+bn r θ R l 上式以 a、 b為參數(shù)顯然是一個(gè)十分明智的做法，它為公式的最終確立即參數(shù)求解提供了方便。將已知條件代入，得方程組： ????????????3 .3 51 471 4784841 85 .3 31 84 9( 18 4 9)12122tbatbaba從后兩式中消 去 t1，解得 a=, b=,故t= n2+，令 n=1428，得到 t=（分）由于一盒錄像帶實(shí)際可錄像時(shí)間為 ，故尚可錄像時(shí)間 為 ，已不能再錄下一個(gè) 60分鐘的節(jié)目了。 物理量大都帶有量綱，其中基本量綱通常是質(zhì)量（用 M表示）、長度（ 用 L表示）、時(shí)間（ 用 T表示），有時(shí)還有溫度（用 Θ表示）。其他物理量的量綱可以用這些基本量綱來表示，如速度的量綱為 LT1，加速度的量綱為 LT2，力的量綱為 MLT2，功的量綱為 ML2T2等。 167。 量綱分析法建模 量綱分析的原理 是：當(dāng)度量量綱的基本單位改變時(shí)，公式本身并不改變，例如，無論長度取什么單位，矩形的面積總等于長乘寬，即公式 S=ab并不改變。此外，在公式中只有量綱相同的量才能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如面積與長度是不允許作加減運(yùn)算的，這些限止在一定程度上限定了公式的可取范圍，即一切公式都要求其所有的項(xiàng)具有相同的量綱，具有這種性質(zhì)的公式被稱為 是“ 量綱齊次 ”的。 例 3 在萬有引力公式中，引力常數(shù) G是有量綱的，根據(jù)量綱齊次性， G的量綱為 M1L3T2，其實(shí)，在一量綱齊次的公式中除以其任何一項(xiàng)，即可使其任何一項(xiàng)化為無量綱，因此任一公式均可改寫成其相關(guān)量的無量綱常數(shù)或無量綱變量的函數(shù)。例如，與萬有引力公式 相關(guān)的物理量有： G、 m m r和 F。 現(xiàn)考察這些量的無量綱乘積 的量綱為 由于 是無量綱的量，故應(yīng)有： 221rmGmF ?edcba FrmmGπ 21?π e)2 ( aeb3aaecb TLM ?????????????????????000eaed3aaecbπ??????????????000eaed3aaecb此方程組中存在兩個(gè)自由變量，其解構(gòu)成一個(gè)二維線性空間。取 （ a,b） =（ 1,0） 和 （ a,b） =（ 0,1）， 得到方程組解空間的一組基 （ 1,0,2,2,1） 和 （ 0,1,1,0,0）， 所有由這些量組成的無量綱乘積均可用這兩個(gè)解的線性組合表示。兩個(gè)基向量對應(yīng)的無量綱乘積分別為： 2122221 mmπ,FrGmπ ??而萬有引力定律則可寫 成 f(π1,π2)=0，其對應(yīng)的顯函數(shù)為：π1=g(π2)， 即 )(22221mmhrmF ?萬有引力定律 定理 （ Backinghamπ定理）方程當(dāng)且僅當(dāng)可以表 示為 f（ π1， π2…） =0時(shí) 才是量綱齊次的，其中 f是某 一函數(shù)， π1， π2… 為問題所包含的變量與常數(shù)的無量 綱乘積。 設(shè)此變換的零空間為 m維的，取此零空間的一組基e1,……,em，并將其擴(kuò)充 為 k維歐氏空間的一組基e1,……,e m, em+1,……e k 令 πi=g1(ei), i=1,…,k,顯然， π1， …, πm是無量綱的，而 πm+1,…, πk是有量綱的（若 km）。由于公式量綱齊次當(dāng)且僅當(dāng)它可用無量綱的量表示，故方程當(dāng)且僅當(dāng)可寫 成 f(π1， …, πm)=0時(shí)才是量綱齊次的，定理證畢。 證 設(shè) x1,…,xk為方程中出現(xiàn)的變量與常數(shù) , ,對這些變量與常數(shù)的任一乘積 ,令 函數(shù) g建立了 xi(i=1,…,k)的乘積所組成的空間 與 k維歐氏空間之間的一個(gè)一一對應(yīng)。現(xiàn)設(shè)涉及到的基本量綱有 n個(gè) ,它們 為 y1,…, 該 xi的乘冪 ,設(shè)此乘冪的量綱為 令 易見 dg1是 k維歐氏空間 到 n維歐氏空間的一個(gè)變換，這里的 g1為 g的逆變換。 k1 aka1 xx ?)a,(a)xg ( x k1aka1 k1 ?? ?n1 bnb1 yy ? )b,(b)xd ( x n1aka1 k1 ?? ?例 4（理想單擺的擺動周期） 考察質(zhì)量集中于距支點(diǎn)為 l 的質(zhì)點(diǎn)上的無阻 尼 單擺，（如圖），其運(yùn)動為某周 期 t 的 左右擺動，現(xiàn)希望得到周期 t 與其他量之間 的 關(guān)系。 θ l mg 考察 ， 的量綱為 MaLb+dTc2b若 無量綱，則有 edcba θltgmπ ? ππ??????????0002bcdba量綱分析法雖然簡單，但使用時(shí)在技巧方面的要求較高，稍一疏忽就會導(dǎo)出荒謬的結(jié)果或根本得不出任何有用的結(jié)果。首先，它要求建模者對研究的問題有正確而充分的了解，能正確列出與該問題相關(guān)的量及相關(guān)的基本量綱，容易看出，其后的分析正是通過對這些量的量綱研究而得出的，列多或列少均不可能得出有用的結(jié)果。其次，在為尋找無量綱量而求解齊次線性方程組時(shí)，基向量組有無窮多種取法，如何選取也很重要，此時(shí)需依靠經(jīng)驗(yàn)，并非任取一組基都能得出有用的結(jié)果。此外，建模者在使用量綱分析法時(shí)對結(jié)果也不應(yīng)抱有不切實(shí)際的過高要求，量綱分析法的基礎(chǔ)是公式的量綱齊次性，僅憑這一點(diǎn)又怎么可能得出十分深刻的結(jié)果，例如，公式可能包含某些無量綱常數(shù)或無量綱變量，對它們之間的關(guān)系，量綱分析法根本無法加以研究。 167。 賽艇成績的比較 (比例模型 ) 八人賽艇比賽和舉重比賽一樣，分 成 86公斤 的重量級和 73公斤的輕量級。 1971年， 19641970年期間兩次 奧運(yùn)會和兩次世錦賽成績，發(fā)現(xiàn) 86公斤級比 73公斤級的成績大約好 5%，產(chǎn)生這一差異的 原因何在呢？ 我們將以 L表示輕量級、以 H表示重量級，用 S表示賽艇的浸水面積， v表示賽艇速度， W表示選手體重， P表示選手的輸出功率， I表示賽程，T表示比賽成績（時(shí)間）。 考察優(yōu)秀賽艇選手在比賽中的實(shí)際表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，整個(gè)賽程大致可以分三個(gè)階段， 即 初始時(shí)刻的加速階 段 、 中途的勻速階段 和 到達(dá)終點(diǎn)的沖刺