【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解：R的概率密度函數(shù)為，所以。12，解：（不符書(shū)上答案）13，解：因?yàn)榈姆植己瘮?shù)為，所以可以求出的分布函數(shù)為， 。的密度函數(shù)為。所以的數(shù)學(xué)期望為。14，解：求出邊緣分布律如下YX01203/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/2810/2815/283/281， ，。15，解：。16，解：。17，解：根據(jù)題意，可得利潤(rùn)的分布律為2000 1000 0 1000 2000 因此，（元）。18解， 。（本題積分利用了，這個(gè)結(jié)果可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)中得到）19，解：， ，所以。本題利用了冪級(jí)數(shù)求和中先積分再求導(dǎo)的方法。設(shè)，則，所以。類似的，設(shè)，則經(jīng)過(guò)兩次積分以后可得到，在經(jīng)過(guò)兩次求導(dǎo)得到。20，解：（1）當(dāng)時(shí)。（2）當(dāng)時(shí)，即不存在。（3），當(dāng)時(shí)，所以。（4）當(dāng)時(shí)，所以不存在。21，解：（1）根據(jù)14題中結(jié)果，得到；因?yàn)椋?，所以， 。（2）根據(jù)16題結(jié)果可得：；因?yàn)?，所以，。（3）在第2章14題中，由以下結(jié)果YX0120121得到，，，所以，；，,.22，解：根據(jù)題意有 。 。23，解：（1）因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以 。（2）根據(jù)題意，可得。 。24，解：因?yàn)?，，所以，即，驗(yàn)證了X,Y不相關(guān)。又因?yàn)?，；，顯然，所以驗(yàn)證了X,Y不是相互獨(dú)立的。25，解：引入隨機(jī)變量定義如下則總的配對(duì)數(shù)，而且因?yàn)椋?。故所以。?章 正態(tài)分布1，（1）設(shè)，求，；（2）設(shè)，且，求。解：（1），（2），所以；，所以，即。2，設(shè)，求。解：因?yàn)?，所以?，（1）設(shè)，試確定，使得。（2）設(shè)，試確定，使得。解：（1）因?yàn)樗缘玫?即。（2）因?yàn)椋?，即，從而?，已知美國(guó)新生兒的體重（以g計(jì)）。（1） 求；（2） 在新生兒中獨(dú)立地選25個(gè)，以Y表示25個(gè)新生兒的體重小于2719的個(gè)數(shù)，求。解：根據(jù)題意可得。（1） （） （2），根據(jù)題意，所以。5，設(shè)洗衣機(jī)的壽命（以年計(jì)），一洗衣機(jī)已使用了5年，求其壽命至少為8年的條件概率。解：所要求的概率為6，一電路要求裝兩只設(shè)計(jì)值為12歐的電阻器，而實(shí)際上裝的電阻器的電阻值（以歐計(jì)）。求（1）；（2）（設(shè)兩電阻器的電阻值相互獨(dú)立）解：設(shè)兩個(gè)電阻器的電阻值分別記為隨機(jī)變量則，（1） ；（2） 。7，一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命（以小時(shí)計(jì)）服從均值，均方差為的正態(tài)分布，若要求，允許最大為多少？解：根據(jù)題意。所以有，即，從而。8，將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲(chǔ)存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在，液體的溫度（以計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且，（1） 若，求小于89的概率；（2） ，問(wèn)至少為多少？解：因?yàn)椋?。?）；（2）若要求，那么就有，即或者，從而，最后得到。9，設(shè)相互獨(dú)立，且服從數(shù)學(xué)期望為150，方差為9的正態(tài)分布，服從數(shù)學(xué)期望為100，方差為16的正態(tài)分布。（1） 求，的分布；（2） 求。解：根據(jù)題意。（1） 根據(jù)正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布（本書(shū)101頁(yè)定理2）的性質(zhì)，立刻得到， ， （2） 因?yàn)?，所以 。因此， 10，（1）某工廠生產(chǎn)螺栓和墊圈。螺栓直徑（以mm計(jì)），墊圈直徑（以mm計(jì)），相互獨(dú)立。隨機(jī)地取一只螺栓，一只墊圈，求螺栓能裝入墊圈的概率。（2）在（1）中若。解：（1）根據(jù)題意可得。螺栓能裝入墊圈的概率為。（2），所以若要控制，即要求，計(jì)算可得。11,設(shè)某地區(qū)女子的身高（以m計(jì)），男子身高（以m計(jì)）。設(shè)各人身高相互獨(dú)立。（1）在這一地區(qū)隨機(jī)選一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在這一地區(qū)隨機(jī)選5名女子，；（3）在這一地區(qū)隨機(jī)選50名女子。解：（1）因?yàn)椋?；?），隨機(jī)選擇的5名女子，（3）設(shè)這50名女子的身高分別記為隨機(jī)變量。則，12，（1）設(shè)隨機(jī)變量，已知，求和；（2）相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求。解：（1）由，得到；，得到；聯(lián)立和，計(jì)算得到。（2）由相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得到。故所以13，一食品廠用紙質(zhì)容器灌裝飲料，容器的重量為30g，灌裝時(shí)將容器放在臺(tái)秤上，將飲料注入直到秤上刻度指到時(shí)結(jié)束。以記容器中飲料的重量。設(shè)臺(tái)秤的誤差為，以g計(jì)。（此處約定臺(tái)秤顯示值大于真值時(shí)誤差為正）（1）寫出的關(guān)系式；（2）求的分布；（3）。解：（1）根據(jù)題意有關(guān)系式或者；（2）因?yàn)?，所以；?）要使得，即要，所以要求，即。所以。14,在上題中若容器的重量也是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)相互獨(dú)立。（1）求的分布；（2）。解：（1）此時(shí)，根據(jù)，可得。（2），可得 ，即 。15，某種電子元件的壽命（以年計(jì)）服從數(shù)學(xué)期望為2的指數(shù)分布，各元件的壽命相互獨(dú)立。隨機(jī)取100只元件，求這100只元件的壽命之和大于180的概率。解：設(shè)這100只元件的壽命分別記為隨機(jī)變量。則。根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理可得16，以記100袋額定重量為25（kg）的袋裝肥料的真實(shí)的凈重，服從同一分布，且相互獨(dú)立。，求的近似值。解：根據(jù)題意可得。由獨(dú)立同分布的中心極限定理可得 17，有400個(gè)數(shù)據(jù)相加，在相加之前，每個(gè)數(shù)據(jù)被舍入到最接近它的數(shù)，其末位為107。設(shè)舍入誤差相互獨(dú)立，且在區(qū)間服從均勻分布。求誤差總和的絕對(duì)值小于的概率。（）解：以記這400個(gè)數(shù)據(jù)的舍入誤差。則。利用獨(dú)立同分布的中心極限定理可得 18，據(jù)調(diào)查某一地區(qū)的居民有20%喜歡白顏色的電話機(jī)，（1）若在該地區(qū)安裝1000部電話機(jī)，記需要安裝白色電話機(jī)的部數(shù)為，求，；（2）問(wèn)至少需要安裝多少部電話。解：（1）根據(jù)題意，且。由De MoivreLaplace定理，計(jì)算得 ；；。（2）設(shè)要安裝部電話。則要使得就要求，即，從而，解出或者（舍去）。所以最少要安裝305部電話。19，一射手射擊一次的得分是一個(gè)隨機(jī)變量，具有分布律8 9 10 （1） 求獨(dú)立射擊10次總得分小于等于96的概率。（2） 求在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)大于等于6的概率。解：根據(jù)題意。（1）以分別記10次射擊的得分，則（2）設(shè)在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)為隨機(jī)變量，則。由De MoivreLaplace定理，計(jì)算得。（第4章習(xí)題解答完畢）第5章 樣本及抽樣分布1,設(shè)總體X服從均值為1/2的指數(shù)分布，是來(lái)自總體的容量為4的樣本，求（1）的聯(lián)合概率密度；（2）；（3）；（4），；（5）。解：因?yàn)閄的概率密度為，所以（1） 聯(lián)合概率密度為，（）（2）的聯(lián)合概率密度為，所以（3） ；（4），（由獨(dú)立性）；（5）。2，設(shè)總體，是來(lái)自的容量為3的樣本，求（1），（2），（3），（4），（5）。解：（1）；（2） （本題與答案不符）（3）；（4）；；（5）因?yàn)?，所以?，設(shè)總體，是來(lái)自的容量為3的樣本，求（1）；（2）。解：（1）因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以；（2）。4，（1）設(shè)總體，是來(lái)自的容量為36的樣本，求；（2）設(shè)總體，是來(lái)自的容量為5的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于1的概率。解：（1）根據(jù)題意得，所以 ；（2） 因?yàn)椋?所以。5。解：設(shè)容量分別為10和15的兩獨(dú)立樣本的樣本均值分別記為和，則，所以， 。6，下面給出了50個(gè)學(xué)生概率論課程的一次考試成績(jī)，試求樣本均值和樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并作出頻率直方圖（將區(qū)間（，）分為7等份）。解：易得，，處理數(shù)據(jù)得到以下表格組 限頻數(shù)頻率~2~3~6~14~11~12~2根據(jù)以上數(shù)據(jù)，畫(huà)出直方圖（略）7，設(shè)總體，是來(lái)自的容量為4的樣本，是樣本方差。（1）問(wèn)，分別服從什么分布，并求。（2）求，解：（1）因?yàn)?，所以，而根?jù)定理2 ，因?yàn)椋?。?）=（第二步查表）8，已知，求證。證明：因?yàn)?，所以存在隨機(jī)變量使得 ， 也即 ，而根據(jù)定義所以，證畢。（第5章習(xí)題解答完畢）第6章 參數(shù)估計(jì)1，設(shè)總體未知，是來(lái)自 的樣本。求的矩估計(jì)量。，，，，，求的矩估計(jì)值。解：因?yàn)榭傮w，所以總體矩。根據(jù)容量為9的樣本得到的樣本矩。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：，得到的矩估計(jì)量為。把樣本值代入得到的矩估計(jì)值為。2，設(shè)總體具有概率密度，參數(shù)未知，是來(lái)自的樣本，求的矩估計(jì)量。解：總體的數(shù)學(xué)期望為，令可得的矩估計(jì)量為。3，設(shè)總體參數(shù)未知，是來(lái)自的樣本，求的矩估計(jì)量（對(duì)于具體樣本值，若求得的不是整數(shù)，則取與最接近的整數(shù)作為的估計(jì)值）。解：總體的數(shù)學(xué)期望為 ， 二階原點(diǎn)矩為。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：，得到。4，（1）設(shè)總體未知，是來(lái)自的樣本，是相應(yīng)的樣本值。求的矩估計(jì)量，求的最大似然估計(jì)值。（2）元素碳14在半分鐘內(nèi)放射出到達(dá)計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)，下面是的一個(gè)樣本：6 4 9 6 10 11 6 3 7 10求的最大似然估計(jì)值。解：（1）因?yàn)榭傮w的數(shù)學(xué)期望為，所以矩估計(jì)量為。似